Conjeturas locales de Langlands
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación Saltar a búsqueda

En matemáticas , las conjeturas locales de Langlands , introducidas por Robert Langlands  ( 1967 , 1970 ), son parte del programa Langlands . Describen una correspondencia entre las complejas representaciones de una reductora grupo algebraico G sobre un campo local de F , y representaciones del grupo Langlands de F en el L-grupo de G . Esta correspondencia no es una biyección en general. Las conjeturas pueden considerarse como una generalización de la teoría del campo de clases local de los grupos abelianos de Galois. a los grupos Galois no abelianos.

Conjeturas de Langlands locales para GL 1

Las conjeturas locales de Langlands para GL 1 ( K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría del campo de clase local . Más precisamente, el mapa de Artin da un isomorfismo del grupo GL 1 ( K ) = K * a la abelianización del grupo de Weil . En particular, las representaciones lisas irreducibles de GL 1 ( K ) son unidimensionales ya que el grupo es abeliano, por lo que pueden identificarse con homomorfismos del grupo de Weil a GL 1 ( C ). Esto da la correspondencia de Langlands entre homomorfismos del grupo de Weil a GL 1 (C ) y representaciones suaves irreductibles de GL 1 ( K ).

Representaciones del grupo Weil

Las representaciones del grupo de Weil no corresponden del todo a representaciones suaves irreducibles de grupos lineales generales. Para obtener una biyección, uno tiene que modificar ligeramente la noción de una representación del grupo de Weil, a algo llamado representación de Weil-Deligne. Consiste en una representación del grupo de Weil en un espacio vectorial V junto con un endomorfismo nilpotente N de V tal que wNw −1 = || w || N , o equivalentemente una representación del grupo Weil-Deligne . Además, la representación del grupo de Weil debe tener un núcleo abierto y debe ser (Frobenius) semisimple.

Para cada Frobenius semisimple complejo n -dimensional representación de Weil-Deligne ρ del grupo de Weil de F hay una función L L ( s , ρ) y un factor ε local ε ( s , ρ, ψ) (dependiendo de un carácter ψ de F ).

Representaciones de GL n ( F )

Las representaciones de GL n ( F ) que aparecen en la correspondencia local de Langlands son representaciones complejas e irreducibles.

  • "Suave" significa que cada vector está fijado por algún subgrupo abierto.
  • "Irreducible" significa que la representación es distinta de cero y no tiene subrepresentaciones distintas de 0 y ella misma.

Las representaciones complejas e irreducibles suaves son automáticamente admisibles.

La clasificación de Bernstein-Zelevinsky reduce la clasificación de representaciones lisas irreducibles a representaciones cúspides.

Para cada representación compleja admisible irreducible π hay una función L L ( s , π) y un factor ε local ε ( s , π, ψ) (dependiendo de un carácter ψ de F ). De manera más general, si hay dos representaciones admisibles irreductibles π y π 'de grupos lineales generales, existen funciones L de convolución de Rankin-Selberg locales L ( s , π × π') y ε-factores ε ( s , π × π ', ψ).

Bushnell y Kutzko (1993) describieron las representaciones admisibles irreductibles de grupos lineales generales sobre campos locales.

Conjeturas de Langlands locales para GL 2

La conjetura de Langlands local para GL 2 de un campo local dice que hay una biyección (única) π de representaciones de Weil-Deligne semisimples bidimensionales del grupo de Weil a representaciones suaves irreducibles de GL 2 ( F ) que conserva las funciones L , ε-factores, y conmuta con torsión por caracteres de F * .

Jacquet y Langlands (1970) verificaron las conjeturas locales de Langlands para GL 2 en el caso en que el campo de residuos no tiene la característica 2. En este caso, las representaciones del grupo de Weil son todas de tipo cíclico o diedro. Gelfand y Graev (1962) clasificaron las representaciones suaves e irreductibles de GL 2 ( F ) cuando F tiene una característica de residuo impar (ver también ( Gelfand, Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969 , capítulo 2)), y afirmaron incorrectamente que la clasificación para residuos pares característica difiere sólo insignificantemente del caso de característica de residuo impar. Weil (1974)señaló que cuando el campo de residuos tiene la característica 2, hay algunas representaciones bidimensionales extra excepcionales del grupo de Weil cuya imagen en PGL 2 ( C ) es de tipo tetraédrico u octaédrico. (Para las conjeturas globales de Langlands, las representaciones bidimensionales también pueden ser de tipo icosaédrico, pero esto no puede suceder en el caso local ya que los grupos de Galois tienen solución). Tunnell (1978) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL 2 ( K ) sobre los números 2-ádicos y sobre los campos locales que contienen una raíz cúbica de la unidad. Kutzko ( 1980 , 1980b ) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL 2( K ) en todos los campos locales.

Cartier (1981) y Bushnell & Henniart (2006) dieron exposiciones de la prueba.

Conjeturas de Langlands locales para GL n

Los Langlands conjeturas locales para estado general grupos lineales que hay biyecciones únicas ↔ rho π π de clases de equivalencia de representaciones admisibles irreducibles ¸ de GL n ( F ) a la equivalencia clases de continua de Frobenius semisimple complejos n -dimensional representaciones Weil-Deligne rho π de el grupo de Weil de F , que conserva las funciones L y los factores ε de pares de representaciones, y coinciden con el mapa de Artin para representaciones unidimensionales. En otras palabras,

  • L ( s , ρ π ⊗ρ π ' ) = L ( s , π × π')
  • ε ( s , ρ π ⊗ρ π ' , ψ) = ε ( s , π × π', ψ)

Laumon, Rapoport y Stuhler (1993) demostraron las conjeturas Langlands locales para el grupo lineal general GL n ( K ) para los campos locales característicos positivos K . Carayol (1992) hizo una exposición de su trabajo.

Harris & Taylor (2001) demostraron las conjeturas Langlands locales para el grupo lineal general GL n ( K ) para la característica 0 campos locales K . Henniart (2000) dio otra prueba. Carayol (2000) y Wedhorn (2008) dieron exposiciones de su trabajo.

Conjeturas de Langlands locales para otros grupos

Borel (1979) y Vogan (1993) discuten las conjeturas de Langlands para grupos más generales. Las conjeturas de Langlands para los grupos reductores arbitrarios G son más complicadas de enunciar que las de los grupos lineales generales, y no está claro cuál debería ser la mejor manera de enunciarlas. En términos generales, las representaciones admisibles de un grupo reductora se agrupan en conjuntos finitos disjuntos llamados L -packets, que deben corresponder a algunas clases de homomorfismos, llamados L -parámetros, desde el grupo Langlands locales a la L -Grupo de G. Algunas versiones anteriores usaban el grupo Weil-Deligne o el grupo Weil en lugar del grupo Langlands local, lo que da una forma un poco más débil de la conjetura.

Langlands (1989) demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales de Arquímedes R y C dando la clasificación de Langlands de sus representaciones admisibles irreductibles (hasta equivalencia infinitesimal), o, de manera equivalente, de sus módulos irreductibles . ( gramo , K ) {\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Gan y Takeda (2011) probaron las conjeturas locales de Langlands para el grupo simpléctico de similitud GSp (4) y lo usaron en Gan y Takeda (2010) para deducirlo para el grupo simpléctico Sp (4).

Referencias

  • Borel, Armand (1979), "Funciones L automórficas" , en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 2 , Proc. Simpos. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, MR  0546608
  • Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 335 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, MR  2234120
  • Bushnell, Colin J .; Kutzko, Philip C. (1993), El dual admisible de GL (N) a través de subgrupos abiertos compactos , Annals of Mathematics Studies, 129 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-03256-6, MR  1204652
  • Carayol, Henri (1992), "Variétés de Drinfeld compactes, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler" , Astérisque , 206 : 369–409, ISSN  0303-1179 , MR  1206074
  • Carayol, Henri (2000), "Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GL n : travaux de Harris-Taylor et Henniart" , Séminaire Bourbaki. Vol. 1998/99., Astérisque , 266 : 191–243, ISSN  0303-1179 , MR  1772675
  • Cartier, Pierre (1981), "La conjeture locale de Langlands pour GL (2) y la demostración de Ph. Kutzko" , Seminario Bourbaki, vol. 1979/80 , Lecture Notes in Math. (en francés), 842 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 112–138, doi : 10.1007 / BFb0089931 , ISBN 978-3-540-10292-2, MR  0636520
  • Gan, Wee Teck ; Takeda, Shuichiro (2010), "The local Langlands conjecture for Sp (4)", International Mathematics Research Notices , 2010 (15): 2987-3038, arXiv : 0805.2731 , doi : 10.1093 / imrn / rnp203 , ISSN  1073-7928 , Señor  2673717 , S2CID  5990821
  • Gan, Wee Teck ; Takeda, Shuichiro (2011), "La conjetura local de Langlands para GSp (4)", Annals of Mathematics , 173 (3): 1841-1882, arXiv : 0706.0952 , doi : 10.4007 / annals.2011.173.3.12
  • Gelfand, IM ; Graev, MI ; Pyatetskii-Shapiro, II (1969) [1966], Teoría de la representación y funciones automórficas , Funciones generalizadas, 6 , Filadelfia, Pa .: WB Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0, MR  0220673
  • Harris, Michael ; Taylor, Richard (2001), La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura , Annals of Mathematics Studies, 151 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0, Señor  1876802
  • Henniart, Guy (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL (n) sur un corps p-adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007 / s002220050012 , ISSN  0020-9910 , MR  1738446 , S2CID  120799103
  • Henniart, Guy (2006), "Sobre las correspondencias locales Langlands y Jacquet-Langlands" , en Sanz-Solé, Marta ; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), Congreso Internacional de Matemáticos. Vol. II , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 1171-1182, ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2275640
  • Jacquet, Hervé ; Langlands, Robert P. (1970), formas automórficas en GL (2) , Lecture Notes in Mathematics, 114 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, MR  0401654
  • Kudla, Stephen S. (1994), "La correspondencia local de Langlands: el caso no arquimediano", en Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motives (Seattle, WA, 1991) , Proc. Simpos. Pure Math., 55 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 365–391, ISBN 978-0-8218-1637-0, MR  1265559
  • Kutzko, Philip (1980), "La conjetura de Langlands para GL 2 de un campo local", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 2 (3): 455–458, doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14765 -5 , ISSN  0002-9904 , MR  0561532
  • Kutzko, Philip (1980b), "La conjetura de Langlands para Gl 2 de un campo local", Annals of Mathematics , Second Series, 112 (2): 381–412, doi : 10.2307 / 1971151 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971151 , Señor  0592296
  • Langlands, Robert (1967), carta al profesor Weil
  • Langlands, RP (1970), "Problemas en la teoría de formas automórficas" , Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III , Lecture Notes in Math, 170 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR  0302614
  • Langlands, Robert P. (1989) [1973], "Sobre la clasificación de representaciones irreductibles de grupos algebraicos reales" , en Sally, Paul J .; Vogan, David A. (eds.), Teoría de la representación y análisis armónico en grupos de Lie semisimple , Matemáticas. Surveys Monogr., 31 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 101-170, ISBN 978-0-8218-1526-7, MR  1011897
  • Laumon, G .; Rapoport, M .; Stuhler, U. (1993), "D-elípticas poleas y la correspondencia de Langlands", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217–338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , doi : 10.1007 / BF01244308 , ISSN  0020-9910 , MR  1228127 , S2CID  124557672
  • Tunnell, Jerrold B. (1978), "Sobre la conjetura local de Langlands para GL (2)", Inventiones Mathematicae , 46 (2): 179–200, Bibcode : 1978InMat..46..179T , doi : 10.1007 / BF01393255 , ISSN  0020-9910 , MR  0476703 , S2CID  117747963
  • Vogan, David A. (1993), "La conjetura local de Langlands" , en Adams, Jeffrey; Hierba, Rebecca ; Kudla, Stephen; Li, Jian-Shu; Lipsman, Ron; Rosenberg, Jonathan (eds.), Teoría de la representación de grupos y álgebras , Contemp. Math., 145 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 305–379, ISBN 978-0-8218-5168-5, MR  1216197
  • Wedhorn, Torsten (2008), "La correspondencia local de Langlands para GL (n) sobre campos p-ádicos" (PDF) , en Göttsche, Lothar; Harder, G .; Raghunathan, MS (eds.), Escuela de formas automórficas en GL (n) , ICTP Lect. Notas, 21 , Abdus Salam Int. Centavo. Theoret. Phys., Trieste, págs. 237–320, arXiv : math / 0011210 , Bibcode : 2000math ..... 11210W , ISBN 978-92-95003-37-8, MR  2508771 , archivado desde el original (PDF) el 07/05/2020
  • Weil, André (1974), "Exercices dyadiques", Inventiones Mathematicae , 27 (1–2): 1–22, Bibcode : 1974InMat..27 .... 1W , doi : 10.1007 / BF01389962 , ISSN  0020-9910 , MR  0379445 , S2CID  189830448

enlaces externos

  • Harris, Michael (2000), Correspondencia local de Langlands (PDF) , Notas de (medio) curso en el PHI
  • El trabajo de Robert Langlands
  • Formas automórficas - La conjetura local de Langlands Conferencia de Richard Taylor
Obtenido de " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Local_Langlands_conjectures&oldid=1020399070 "
Contribute a better translation