teoría de la bifurcación

La teoría de la bifurcación es el estudio matemático de los cambios en la estructura cualitativa o topológica de una familia de curvas dada , como las curvas integrales de una familia de campos vectoriales y las soluciones de una familia de ecuaciones diferenciales . Más comúnmente aplicada al estudio matemático de sistemas dinámicos , una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio suave realizado en los valores de los parámetros (los parámetros de bifurcación) de un sistema provoca un cambio 'cualitativo' o topológico repentino en su comportamiento. ^[1] Las bifurcaciones ocurren en ambos sistemas continuos (descritos porecuaciones diferenciales ordinarias , de retardo o diferenciales parciales ) y sistemas discretos (descritos por mapas).

El nombre "bifurcación" fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer artículo matemático que mostraba tal comportamiento. ^[2] Henri Poincaré también nombró más tarde varios tipos de puntos estacionarios y los clasificó con motivo ^{[ clarificar ]} .

Una bifurcación local ocurre cuando un cambio de parámetro hace que cambie la estabilidad de un equilibrio (o punto fijo). En sistemas continuos, esto corresponde a la parte real de un valor propio de un equilibrio que pasa por cero. En sistemas discretos (descritos por mapas), esto corresponde a un punto fijo que tiene un multiplicador de Floquet con módulo igual a uno. En ambos casos, el equilibrio es no hiperbólico en el punto de bifurcación. Los cambios topológicos en el retrato de fase del sistema se pueden limitar a vecindades arbitrariamente pequeñas de los puntos fijos que se bifurcan moviendo el parámetro de bifurcación cerca del punto de bifurcación (por lo tanto, 'local').

Más técnicamente, considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria (ODE)

Se produce una bifurcación local si la matriz jacobiana tiene un valor propio con parte real cero. Si el valor propio es igual a cero, la bifurcación es una bifurcación de estado estacionario, pero si el valor propio es distinto de cero pero puramente imaginario, esta es una bifurcación de Hopf .${\ estilo de visualización (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda_{0}}}$

Entonces ocurre una bifurcación local si la matriz tiene un valor propio con módulo igual a uno. Si el valor propio es igual a uno, la bifurcación es un nodo de silla de montar (a menudo llamado bifurcación de pliegue en los mapas), una bifurcación transcrítica o de horca. Si el valor propio es igual a −1, es una bifurcación de duplicación de período (o flip), y de lo contrario, es una bifurcación de Hopf.${\ estilo de visualización (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda_{0}}}$

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo de silla de montar

Bifurcaciones que reducen a la mitad el período (L) que conducen al orden, seguidas de bifurcaciones que duplican el período (R) que conducen al caos.

Un retrato de fase antes, durante y después de una bifurcación homoclínica en 2D. La órbita periódica crece hasta que choca con el punto de silla. En el punto de bifurcación, el período de la órbita periódica ha crecido hasta el infinito y se ha convertido en una órbita homoclínica . Después de la bifurcación ya no hay una órbita periódica. Panel izquierdo : para valores de parámetros pequeños, hay un punto de silla en el origen y un ciclo límite en el primer cuadrante. Panel central : a medida que aumenta el parámetro de bifurcación, el ciclo límite crece hasta que intersecta exactamente el punto de silla, lo que produce una órbita de duración infinita. Panel derecho: Cuando el parámetro de bifurcación aumenta más, el ciclo límite desaparece por completo.