LOCC , o operaciones locales y comunicación clásica , es un método en la teoría de la información cuántica donde se realiza una operación local (producto) en una parte del sistema, y donde el resultado de esa operación se "comunica" clásicamente a otra parte donde normalmente se realiza otra operación local. La operación se realiza condicionada a la información recibida.
Propiedades matematicas
La definición formal del conjunto de operaciones LOCC es complicada debido a que las operaciones locales posteriores dependen en general de toda la comunicación clásica previa y debido al número ilimitado de rondas de comunicación. Para cualquier número finito uno puede definir , el conjunto de operaciones LOCC que se pueden lograr con rondas de comunicación clásica. El conjunto se vuelve estrictamente más grande cuandoaumenta y hay que tener cuidado para definir el límite de infinitas rondas. En particular, el conjunto LOCC no está topológicamente cerrado, es decir, hay operaciones cuánticas que pueden aproximarse arbitrariamente de cerca mediante LOCC pero que no son LOCC en sí mismas. [1]
Un LOCC de una rondaes un instrumento cuántico , para los cuales los mapas completamente positivos (CPM) de seguimiento no creciente son locales para todos los resultados de medición , es decir, y hay un sitio tal que solo en el mapa no conserva el rastro. Esto significa que el instrumento puede ser realizado por la parte en el sitio. aplicando el instrumento (local) y comunicando el resultado clásico a todas las demás partes, que luego cada una realiza (condicionada a ) operaciones cuánticas locales de conservación de trazas (deterministas) .
Luego se definen de forma recursiva como aquellas operaciones que se pueden realizar mediante el seguimiento de una operación con un -operación. Aquí se permite que el partido que realiza las operaciones de seguimiento dependa del resultado de las rondas anteriores. Además, también permitimos el "grano grueso", es decir, descartar parte de la información clásica codificada en los resultados de la medición (de todas las rondas).
La unión de todos operaciones se denota por y contiene instrumentos que pueden aproximarse cada vez mejor con más rondas LOCC. Es cierre topológicocontiene todas esas operaciones.
Se puede demostrar que todos estos conjuntos son diferentes: [1]
El conjunto de todas las operaciones LOCC está contenido en el conjunto de todas las operaciones separables .contiene todas las operaciones que se pueden escribir utilizando operadores Kraus que tienen todas las formas de producto, es decir,
con . No todas las operaciones en son LOCC,
es decir, hay ejemplos que no se pueden implementar localmente incluso con rondas infinitas de comunicación. [1]
LOCC son las "operaciones libres" en las teorías de recursos del entrelazamiento : el entrelazamiento no puede producirse desde estados separables con LOCC y si las partes locales además de poder realizar todas las operaciones LOCC también están provistas de algunos estados entrelazados, pueden realizar más operaciones que con LOCC solo.
Ejemplos de
Las operaciones LOCC son útiles para la preparación del estado , la discriminación del estado y las transformaciones de entrelazamiento .
Preparación del estado
Alice y Bob reciben un sistema de dos cuánticos en el estado del producto . Su tarea es producir el estado separable. Solo con operaciones locales esto no se puede lograr, ya que no pueden producir las correlaciones (clásicas) presentes en. Pero con LOCC (con una ronda de comunicación) puede prepararse: Alice lanza una moneda imparcial (que muestra cara o cruz cada una con un 50% de probabilidad) y lanza su qubit (para ) si la moneda muestra "cruz", de lo contrario no se modifica. Luego envía el resultado del lanzamiento de la moneda (información clásica) a Bob, quien también lanza su qubit si recibe el mensaje "cruz". El estado resultante es. En general, todos los estados separables (y solo estos) se pueden preparar a partir de los estados de un producto con operaciones LOCC únicamente. [1]
Discriminación estatal
Dados dos estados cuánticos en un espacio de Hilbert bi o multipartito , la tarea es determinar cuál de los dos (o más) estados posibles es. Como ejemplo simple, considere los dos estados de Bell
Digamos que el sistema de dos qubit está separado, donde el primer qubit se le da a Alice y el segundo a Bob. Sin comunicación, Alice y Bob no pueden distinguir los dos estados, ya que para todas las mediciones locales todas las estadísticas de medición son exactamente iguales (ambos estados tienen la misma matriz de densidad reducida). Por ejemplo, suponga que Alice mide el primer qubit y obtiene el resultado 0. Dado que es igualmente probable que ocurra este resultado (con una probabilidad del 50%) en cada uno de los dos casos, no obtiene ninguna información sobre qué par de Bell se le dio. y lo mismo vale para Bob si realiza alguna medición. Pero ahora deja que Alice envíe su resultado a Bob a través de un canal clásico. Ahora Bob puede comparar su resultado con el de ella y, si son iguales, puede concluir que el par dado fue, ya que solo esto permite un resultado de medición conjunta . Así, con LOCC y dos medidas, estos dos estados se pueden distinguir perfectamente. Tenga en cuenta que con mediciones globales ( no locales o entrelazadas ), una sola medición (en el espacio de Hilbert conjunto ) es suficiente para distinguir estos dos estados (mutuamente ortogonales ).
Hay estados cuánticos que no se pueden distinguir con las operaciones LOCC. [2]
Transformaciones de entrelazamiento
Si bien LOCC no puede generar estados entrelazados a partir de estados de producto, se pueden usar para transformar estados entrelazados en otros estados entrelazados. La restricción a LOCC limita severamente qué transformaciones son posibles.
Conversión de enredo
Nielsen [3] ha derivado una condición general para determinar si un estado puro de un sistema cuántico bipartito puede transformarse en otro utilizando sólo LOCC. Los detalles completos se pueden encontrar en el documento mencionado anteriormente, los resultados se describen aquí.
Considere dos partículas en un espacio de dimensión de Hilbert con estados de partículas y con descomposiciones de Schmidt
La Se conocen como coeficientes de Schmidt . Si se ordenan de mayor a menor (es decir, con) luego solo se puede transformar en utilizando solo operaciones locales si y solo si para todos en el rango
En notación más concisa:
Esta es una condición más restrictiva que el hecho de que las operaciones locales no puedan aumentar las medidas de enredo . Es muy posible que y tienen la misma cantidad de entrelazamiento, pero convertir uno en el otro no es posible e incluso esa conversión en cualquier dirección es imposible porque ningún conjunto de coeficientes de Schmidt mayoriza al otro. Para grandesi todos los coeficientes de Schmidt son distintos de cero, entonces la probabilidad de que un conjunto de coeficientes mayorice al otro se vuelve insignificante. Por lo tanto, para grandes la probabilidad de que cualquier estado arbitrario sea convertible en otro a través de LOCC se vuelve insignificante.
Las operaciones descritas hasta ahora son deterministas, es decir, tienen éxito con una probabilidad del 100%. Si uno está satisfecho con transformaciones probabilísticas , muchas más transformaciones son posibles usando LOCC. [4] Estas operaciones se denominan LOCC estocásticas (SLOCC). En particular, para los estados de múltiples partes, la convertibilidad bajo SLOCC se estudia para obtener una visión cualitativa de las propiedades de entrelazamiento de los estados involucrados. [5]
Más allá de LOCC: conversión catalítica
Si los estados entrelazados están disponibles como recurso, estos, junto con LOCC, permiten una clase mucho mayor de transformaciones. Este es el caso incluso si estos estados de recursos no se consumen en el proceso (como lo son, por ejemplo, en la teletransportación cuántica ). Por tanto, las transformaciones se denominan catálisis por entrelazamiento . [6] En este procedimiento, la conversión de un estado inicial a un estado final que es imposible con LOCC se hace posible tomando un producto tensorial del estado inicial con un "estado catalizador".y exigir que este estado todavía esté disponible al final del proceso de conversión. Es decir, el estado del catalizador se deja sin cambios por la conversión y luego se puede eliminar, dejando solo el estado final deseado. Considere los estados,
Estos estados se escriben en forma de descomposición de Schmidt y en orden descendente. Comparamos la suma de los coeficientes de y
0 0.4 0,5 1 0,8 0,75 2 0,9 1.0 3 1.0 1.0
En la tabla, se pone color rojo si , se pone color verde si , y el color blanco se mantiene si . Después de construir la mesa, se puede averiguar fácilmente si y son convertibles mirando el color en el dirección. se puede convertir en por LOCC si el color es todo verde o blanco, y se puede convertir en por LOCC si el color es todo rojo o blanco. Cuando la tabla presenta tanto el color rojo como el verde, los estados no son convertibles.
Ahora consideramos los estados del producto y :
Del mismo modo, hacemos la tabla:
0 0,24 0,30 1 0,48 0,50 2 0,64 0,65 3 0,80 0,80 4 0,86 0,90 5 0,92 1,00 6 0,96 1,00 7 1,00 1,00
El color en el dirección son todos verdes o blancos, por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Nielsen, se puede convertir en por la LOCC. El estado del catalizadorse quita después de la conversión. Finalmente encontramos por la LOCC.
Referencias
- ^ a b c d Chitambar, E .; Leung, D .; Mancinska, L .; Ozols, M. y Winter, A. (2012). "Todo lo que siempre quiso saber sobre LOCC (pero tenía miedo de preguntar)". Comun. Matemáticas. Phys . 328 : 303. arXiv : 1210.4583 . Código bibliográfico : 2014CMaPh.328..303C . doi : 10.1007 / s00220-014-1953-9 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, Christopher A. Fuchs, Tal Mor, Eric Rains, Peter W. Shor, John A. Smolin y William K. Wootters (1999). "No localidad cuántica sin entrelazamiento". Phys. Rev. A . 59 (2): 1070–1091. arXiv : quant-ph / 9804053 . Código bibliográfico : 1999PhRvA..59.1070B . doi : 10.1103 / PhysRevA.59.1070 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ MA Nielsen (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones entrelazadas". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph / 9811053 . Código Bibliográfico : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103 / PhysRevLett.83.436 .
- ^ Guifré Vidal (2000). "Entanglement Monotones". J. Mod. Opt . 47 (2-3): 355. arXiv : quant-ph / 9807077 . doi : 10.1080 / 09500340008244048 .
- ^ G. Gour y NR Wallach (2013). "Clasificación del entrelazamiento multipartito de toda dimensionalidad finita". Phys. Rev. Lett . 111 (6): 060502. arXiv : 1304.7259 . Código Bibliográfico : 2013PhRvL.111f0502G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.111.060502 . PMID 23971544 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ D. Jonathan y MB Plenio (1999). "Manipulación local asistida por entrelazamiento de estados cuánticos puros". Phys. Rev. Lett . 83 (17): 3566–3569. arXiv : quant-ph / 9905071 . Código Bibliográfico : 1999PhRvL..83.3566J . doi : 10.1103 / PhysRevLett.83.3566 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
Otras lecturas
- https://quantiki.org/wiki/locc-operations
- Nielsen MA (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones entrelazadas". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph / 9811053 . Código Bibliográfico : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103 / physrevlett.83.436 .