En geometría algebraica, una clase de Chern localizada es una variante de una clase de Chern , que se define para un complejo de cadenas de paquetes de vectores en lugar de un solo paquete de vectores. Se introdujo originalmente en la teoría de la intersección de Fulton , [1] como una contraparte algebraica de la construcción similar en la topología algebraica . La noción se utiliza en particular en el teorema de tipo Riemann-Roch .
S. Bloch luego generalizó la noción en el contexto de esquemas aritméticos (esquemas sobre un dominio de Dedekind) con el propósito de dar la fórmula conductora de # Bloch que calcula la no constancia de la característica de Euler de una familia degenerada de variedades algebraicas (en la característica mixta caso).
Definiciones
Sea Y un esquema regular de dimensión pura de tipo finito sobre un campo o anillo de valoración discreto y X un subesquema cerrado. Dejardenotar un complejo de paquetes de vectores en Y
eso es exacto en . La clase Chern localizada de este complejo es una clase en el grupo bivariante de Chow dedefinido como sigue. Dejardenotar el paquete tautológico del paquete de Grassmann de rango subconjuntos de . Dejar. Luego, la i -ésima clase Chern localizada está definido por la fórmula:
dónde es la proyección y es un ciclo obtenido de por la denominada construcción gráfica .
Ejemplo: clase de Euler localizada
Dejar sea como en #Definitions . Si S es suave sobre un campo, entonces la clase Chern localizada coincide con la clase
donde, aproximadamente, es la sección determinada por el diferencial de f y (así)es la clase del locus singular de f .
Fórmula de director de Bloch
Referencias
- ^ Fulton 1998 , ejemplo 18.1.3.
- S. Bloch, “Ciclos sobre esquemas aritméticos y características de Euler de las curvas”, geometría algebraica, Bowdoin, 1985, 421–450, Proc. Symp. Matemática pura. 46, Parte 2, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1987.
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323, sección B.7
- K. Kato y T. Saito, "Sobre la fórmula de director de Bloch", Publ. Matemáticas. IHES 100 (2005), 5-151.