En geometría algebraica, hay varias generalizaciones del teorema de Riemann-Roch ; entre los más famosos se encuentran el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , que se generaliza aún más mediante la formulación de Fulton et al.
Formulación debida a Baum, Fulton y MacPherson
Dejar y ser functores en la categoría C de esquemas separados y localmente de tipo finito sobre el campo base k con morfismos propios tales que
- es el grupo de Grothendieck de gavillas coherentes en X ,
- es el grupo de Chow racional de X ,
- para cada morfismo adecuado f ,son las imágenes directas (o push-forward) a lo largo de f .
También si es un morfismo de intersección completo local (global) ; es decir, se tiene en cuenta como una incrustación regular cerradaen un esquema suave P seguido de un morfismo suave, luego deja
ser la clase en el grupo de Grothendieck de paquetes de vectores en X ; es independiente de la factorización y se denomina paquete tangente virtual de f .
Entonces, el teorema de Riemann-Roch equivale a la construcción de una transformación natural única : [1]
entre los dos functores de manera que para cada esquema X en C , el homomorfismo satisface: para un morfismo de intersección completo local , cuando hay incrustaciones cerradas en esquemas suaves,
dónde se refiere a la clase de Todd .
Además, tiene las propiedades:
- para cada y la clase Chern (o la acción de la misma) de la en el grupo de Grothendieck de paquetes del vector en X .
- si X es un subesquema cerrado de un esquema suave M , entonces el teorema es (aproximadamente) la restricción del teorema en el caso suave y puede escribirse en términos de una clase de Chern localizada .
El teorema equivariante de Riemann-Roch
Sobre los números complejos, el teorema es (o puede interpretarse como) un caso especial del teorema del índice equivariante .
El teorema de Riemann-Roch para pilas de Deligne-Mumford
Aparte de los espacios algebraicos, no es posible una generalización sencilla para las pilas. La complicación ya aparece en el caso del orbifold ( Riemann-Roch de Kawasaki ).
El teorema de Riemann-Roch equivariante para grupos finitos es equivalente en muchas situaciones al teorema de Riemann-Roch para pilas de cocientes por grupos finitos.
Una de las aplicaciones significativas del teorema es que permite definir una clase fundamental virtual en términos de la clase fundamental virtual teórica- K .
Notas
Referencias
- Edidin, Dan (21 de mayo de 2012). "Riemann-Roch para pilas de Deligne-Mumford". arXiv : 1205.4742 [ math.AG ].
- William Fulton (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Toen, B. (17 de marzo de 1998). "Teoremas de Riemann-Roch para pilas de Deligne-Mumford". arXiv : matemáticas / 9803076 .
- Bertrand, Toen (18 de agosto de 1999). "Teoría K y cohomología de pilas algebraicas: teoremas de Riemann-Roch, módulos D y teoremas GAGA". arXiv : matemáticas / 9908097 .
- Lowrey, Parker; Schürg, Timo (30 de agosto de 2012). "Grothendieck-Riemann-Roch para esquemas derivados". arXiv : 1208.6325 [ math.AG ].
- Vakil, Math 245A Temas de geometría algebraica: Introducción a la teoría de la intersección en geometría algebraica