Un grupo cuántico localmente compacto es un enfoque C * -algebraico relativamente nuevo hacia los grupos cuánticos que generaliza los enfoques de álgebra de Kac , grupo cuántico compacto y álgebra de Hopf . Los primeros intentos de una definición unificadora de grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos han tenido cierto éxito, pero también se han encontrado con varios problemas técnicos.
Una de las principales características que distingue a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes de izquierda y derecha. Esto da un análogo no conmutativo de las medidas de Haar izquierda y derecha en un grupo de Hausdorff localmente compacto.
Antes de que podamos comenzar a definir correctamente un grupo cuántico localmente compacto, primero debemos definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.
Definición (peso). Dejarser un C * -algebra , y dejardenotar el conjunto de elementos positivos de. Un peso en es una función tal que
- para todos , y
- para todos y .
Alguna notación para pesos. Dejar ser un peso en un álgebra C * . Usamos la siguiente notación:
- , que se llama el conjunto de todos los positivos-Elementos integrables de.
- , que se llama el conjunto de todos -Elementos integrables cuadrados de.
- , que se llama el conjunto de todos -Elementos integrales de.
Tipos de pesos. Dejar ser un peso en un álgebra C * .
- Nosotros decimos eso es fiel si y solo si para cada no cero .
- Nosotros decimos eso es semicontinuo más bajo si y solo si el conjunto es un subconjunto cerrado de para cada .
- Nosotros decimos eso está densamente definido si y solo si es un subconjunto denso de , o de manera equivalente, si y solo si o es un subconjunto denso de .
- Nosotros decimos eso es apropiado si y solo si es distinto de cero, semicontinuo inferior y densamente definido.
Definición (grupo de un parámetro). Dejarser un C * -álgebra. Un grupo de un parámetro en es una familia de * -automorfismos de que satisface para todos . Nosotros decimos esoes norma continua si y solo si para cada, el mapeo definido por es continuo (seguramente esto debería llamarse fuertemente continuo?).
Definición (extensión analítica de un grupo de un parámetro). Dado un grupo de un parámetro normal continuo en un C * -algebra , vamos a definir una extensión analítica de. Para cada, dejar
- ,
que es una franja horizontal en el plano complejo. Llamamos a una función norm-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
- Es analítico en el interior de , es decir, para cada en el interior de , el límite existe con respecto a la topología de la norma en .
- Está delimitado por normas .
- Es norma continua en .
Supongamos ahora que , y deja
Definir por . La función está determinado de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que está bien definido de hecho. La familiaentonces se llama la extensión analítica de.
Teorema 1. El conjunto, llamado el conjunto de elementos analíticos de, es un subconjunto denso de .
Definición (peso KMS). Dejar ser un C * -álgebra y un peso sobre . Nosotros decimos esoes un peso KMS ('KMS' significa 'Kubo-Martin-Schwinger') en si y solo si es un peso adecuado en y existe un grupo de un parámetro normal continuo en tal que
- es invariante bajo , es decir, para todos , y
- para cada , tenemos .
Denotamos por el álgebra multiplicadora de .
Teorema 2. Si y son C * -algebras y es un homomorfismo no degenerado * (es decir, es un subconjunto denso de ), entonces podemos extender de forma única a un * -homorfismo .
Teorema 3. Si es un estado (es decir, un funcional lineal positivo de norma ) en , entonces podemos extender de manera única a un estado en .
Definición (grupo cuántico localmente compacto). Un grupo cuántico localmente compacto (C * -algebraico) es un par ordenado, dónde es un C * -álgebra y es un homomorfismo no degenerado * llamado co-multiplicación , que satisface las siguientes cuatro condiciones:
- La co-multiplicación es coasociativa, es decir, .
- Los conjuntos y son subconjuntos linealmente densos de .
- Existe un peso fiel de KMS en que es invariante a la izquierda, es decir, para todos y .
- Existe un peso KMS en que es invariante a la derecha, es decir, para todos y .
A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso KMS invariante a la derecha es automáticamente fiel. Por tanto, la fidelidad de es una condición redundante y no necesita postularse.
La categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bi-dual de un grupo cuántico localmente compacto es isomórfico al original. Este resultado da una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.