espacio simétrico
En matemáticas , un espacio simétrico es una variedad de Riemann (o más generalmente, una variedad de pseudo-Riemann ) cuyo grupo de simetrías contiene una simetría de inversión sobre cada punto. Esto se puede estudiar con las herramientas de la geometría de Riemann , lo que lleva a consecuencias en la teoría de la holonomía ; o algebraicamente a través de la teoría de Lie , lo que permitió a Cartan dar una clasificación completa. Los espacios simétricos ocurren comúnmente en geometría diferencial , teoría de representación y análisis armónico .
En términos geométricos, una variedad de Riemann completa, simplemente conexa, es un espacio simétrico si y solo si su tensor de curvatura es invariante bajo transporte paralelo. De manera más general, se dice que una variedad de Riemann ( M , g ) es simétrica si y solo si, para cada punto p de M , existe una isometría de M que fija p y actúa sobre el espacio tangente como menos la identidad (todo espacio simétrico es completa , ya que cualquier geodésica se puede extender indefinidamente a través de simetrías sobre los puntos finales). Ambas descripciones también pueden extenderse naturalmente al establecimiento de variedades pseudo-Riemannianas .
Desde el punto de vista de la teoría de Lie, un espacio simétrico es el cociente G / H de un grupo G de Lie conexo por un subgrupo H de Lie que es (un componente conexo de) el grupo invariante de una involución de G. Esta definición incluye más que la definición de Riemann, y se reduce a ella cuando H es compacto.
Los espacios simétricos de Riemann surgen en una amplia variedad de situaciones tanto en matemáticas como en física. Su papel central en la teoría de la holonomía fue descubierto por Marcel Berger . Son importantes objetos de estudio en la teoría de la representación y el análisis armónico, así como en la geometría diferencial.
Sea M una variedad riemanniana conexa y p un punto de M . Se dice que un difeomorfismo f de una vecindad de p es una simetría geodésica si fija el punto p e invierte las geodésicas a través de ese punto, es decir, si γ es una geodésica con entonces Se sigue que la derivada del mapa f en p es menos el mapa de identidad en el espacio tangente de p . En una variedad general de Riemann, f no necesita ser isométrica, ni puede extenderse, en general, desde una vecindad de pa todo M.
Se dice que M es simétrico localmente riemanniano si sus simetrías geodésicas son de hecho isométricas. Esto es equivalente a la desaparición de la derivada covariante del tensor de curvatura. Se dice que un espacio simétrico localmente es un espacio simétrico (globalmente) si además sus simetrías geodésicas pueden extenderse a isometrías en todo M .