Ecuación diferencial de Loewner
En matemáticas , la ecuación diferencial de Loewner , o ecuación de Loewner , es una ecuación diferencial ordinaria descubierta por Charles Loewner en 1923 en análisis complejo y teoría de funciones geométricas . Introducido originalmente para estudiar asignaciones de hendiduras (asignaciones conformes del disco abierto en el plano complejo con una curva que une 0 a ∞ eliminada), el método de Loewner fue desarrollado más tarde en 1943 por el matemático ruso Pavel Parfenevich Kufarev (1909-1968). Cualquier familia de dominios en el plano complejo que se expande continuamente en el sentido de Carathéodorya todo el plano conduce a una familia de mapeos conformes de un parámetro, llamada cadena de Loewner , así como a una familia de dos parámetros de auto-mapeos holomorfos univalentes del disco unitario , llamado semigrupo de Loewner . Este semigrupo corresponde a un campo vectorial holomorfo dependiente del tiempo en el disco dado por una familia de funciones holomorfas de un parámetro en el disco con parte real positiva. El semigrupo de Loewner generaliza la noción de un semigrupo univalente .
La ecuación diferencial de Loewner ha dado lugar a desigualdades para funciones univalentes que jugaron un papel importante en la solución de la conjetura de Bieberbach de Louis de Branges en 1985. El propio Loewner usó sus técnicas en 1923 para probar la conjetura del tercer coeficiente. La ecuación de Schramm-Loewner , una generalización estocástica de la ecuación diferencial de Loewner descubierta por Oded Schramm a fines de la década de 1990, se ha desarrollado ampliamente en la teoría de la probabilidad y la teoría de campos conformes .
Se dice que f está subordinada a g si y solo si hay una función univalente φ de D en sí misma fijando 0 tal que
Dado que dicho mapa satisface 0 < |φ'(0)| ≤ 1 y toma cada disco Dr , | z | < r con 0 < r < 1, en sí mismo, se sigue que
Para 0 ≤ t ≤ ∞ sea U ( t ) una familia de subconjuntos abiertos conexos y simplemente conexos de C que contienen 0, tal que
Así si ,
