La teoría de funciones geométricas es el estudio de las propiedades geométricas de funciones analíticas . Un resultado fundamental en la teoría es el teorema de mapeo de Riemann .
Temas de la teoría de funciones geométricas
Los siguientes son algunos de los temas más importantes en la teoría de funciones geométricas: [1] [2]
Mapas conformales
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Conformal_map.svg/220px-Conformal_map.svg.png)
Un mapa conforme es una función que preserva los ángulos localmente. En el caso más común, la función tiene un dominio y un rango en el plano complejo .
Más formalmente, un mapa,
- con
se llama conforme (o preservador de ángulo ) en un puntosi conserva ángulos orientados entre curvas a travéscon respecto a su orientación (es decir, no solo la magnitud del ángulo). Los mapas conformales conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
Mapas cuasiconformales
En el análisis matemático complejo , un mapeo cuasiconformal , introducido por Grötzsch (1928) y nombrado por Ahlfors (1935) , es un homeomorfismo entre dominios planos que en primer orden lleva pequeños círculos a pequeñas elipses de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ un homeomorfismo que conserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -quasiconformal si la derivada de f en cada punto de los mapas de círculos para elipses con excentricidad delimitada por K .
Si K es 0, entonces la función es conforme .
Continuación analítica
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Imaginary_log_analytic_continuation.png/316px-Imaginary_log_analytic_continuation.png)
La continuación analítica es una técnica para ampliar el dominio de una función analítica determinada . La continuación analítica a menudo logra definir valores adicionales de una función, por ejemplo, en una nueva región donde una representación en serie infinita en términos de la cual se define inicialmente se vuelve divergente.
Sin embargo, la técnica de continuación paso a paso puede tropezar con dificultades. Estos pueden tener una naturaleza esencialmente topológica, lo que da lugar a inconsistencias (que definen más de un valor). Alternativamente, pueden tener que ver con la presencia de singularidades matemáticas . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no pueden ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones del desarrollo de la cohomología de gavillas .
Propiedades geométricas de polinomios y funciones algebraicas
Los temas de esta área incluyen superficies de Riemann para funciones algebraicas y ceros para funciones algebraicas.
Superficie de Riemann
Una superficie de Riemann , estudiada por primera vez y nombrada en honor a Bernhard Riemann , es una variedad compleja unidimensional . Las superficies de Riemann pueden considerarse versiones deformadas del plano complejo : localmente, cerca de cada punto, parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias hojas pegadas entre sí.
El punto principal de las superficies de Riemann es que se pueden definir funciones holomórficas entre ellas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el escenario natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente funciones multivaluadas como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas , o el logaritmo .
Problemas extremos
Los temas en esta área incluyen "Principio máximo; lema de Schwarz, principio de Lindelöf, análogos y generalizaciones". [3]
Funciones univalentes y multivalentes
Una función holomórfica en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva .
Uno puede probar que si y son dos conjuntos abiertos conectados en el plano complejo, y
es una función univalente tal que (es decir, es sobreyectiva ), entonces la derivada de nunca es cero, es invertible , y su inversotambién es holomórfico. Más, uno tiene por la regla de la cadena
Los términos alternativos de uso común son schlicht (en alemán significa llano, simple) y simple . Es un hecho notable, fundamental para la teoría de las funciones univalentes, que la univalencia se conserva esencialmente bajo la convergencia uniforme.
Teoremas importantes
Teorema de mapeo de Riemann
Dejar ser un punto en una región simplemente conectada y tener al menos dos puntos limítrofes. Entonces existe una función analítica única cartografía biyectivamente en el disco de la unidad abierta tal que y .
Aunque el teorema de mapeo de Riemann demuestra la existencia de una función de mapeo, en realidad no exhibe esta función. A continuación se ofrece un ejemplo.
En la figura anterior, considere y como dos regiones simplemente conectadas diferentes de . El teorema de mapeo de Riemann proporciona la existencia de cartografía en el disco de la unidad y la existencia de cartografía en el disco de la unidad. Por lo tanto es un mapeo uno a uno de sobre . Si podemos mostrar eso, y en consecuencia la composición, es analítica, entonces tenemos un mapeo conforme de sobre , demostrando "dos regiones simplemente conectadas diferentes del plano completo se pueden mapear de manera conforme entre sí ".
Lema de Schwarz
El lema de Schwarz , que lleva el nombre de Hermann Amandus Schwarz , es el resultado de un análisis complejo sobre las funciones holomórficas desde el disco unitario abierto hasta sí mismo. El lema es menos celebrado que los teoremas más sólidos, como el teorema de mapeo de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que captura la rigidez de las funciones holomórficas.
Declaración
Schwarz Lemma. Sea D = { z : | z | <1} sea el disco unitario abierto en el plano complejo C centrado en el origen y sea f : D → D un mapa holomórfico tal que f (0) = 0.
Entonces, | f ( z ) | ≤ | z | para todo z en D y | f ′ (0) | ≤ 1.
Además, si | f ( z ) | = | z | para algunos no sea cero Z o | f ′ (0) | = 1, entonces f ( z ) = az para algunos a en C con | a | = 1.
Principio máximo
El principio de máximo es una propiedad de las soluciones de determinadas ecuaciones diferenciales parciales , de tipo elíptico y parabólico . En términos generales, dice que el máximo de una función en un dominio se encuentra en el límite de ese dominio. Específicamente, el principio de máximo fuerte dice que si una función alcanza su máximo en el interior del dominio, la función es uniformemente una constante. El principio de máximo débil dice que el máximo de la función se encuentra en el límite, pero también puede volver a ocurrir en el interior. Existen otros principios máximos aún más débiles que simplemente limitan una función en términos de su máximo en la frontera.
Fórmula de Riemann-Hurwitz
la fórmula de Riemann-Hurwitz , que lleva el nombre de Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cubierta ramificada de la otra. Por tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .
Declaración
Para una superficie orientable S, la característica de Euler χ ( S ) es
donde g es el género (el número de asas ), ya que los números de Betti son 1, 2 g , 1, 0, 0, .... En el caso de un mapa de cobertura (sin ramificar ) de superficies
que es sobreyectiva y de grado N , deberíamos tener la fórmula
Esto se debe a que cada simplex de S debería estar cubierto exactamente por N en S ′, al menos si usamos una triangulación de S lo suficientemente fina , como tenemos derecho a hacer, ya que la característica de Euler es una invariante topológica . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación (las hojas se juntan ).
Ahora suponga que S y S ′ son superficies de Riemann y que el mapa π es analítico complejo . Se dice que el mapa π está ramificado en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π ( P ) tales que π toma la forma π ( z ) = z n , y n > 1. Una forma equivalente de pensando en esto es que existe una pequeña vecindad U de P tal que π ( P ) tiene exactamente una imagen inversa en U , pero la imagen de cualquier otro punto en U tiene exactamente n preimages en U . El número n se llama el índice de ramificación en P y también denota por e P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e P - 1 copias de P por encima de π ( P ) (es decir, en la imagen inversa de π ( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S ′ con vértices en los puntos de ramificación y ramificación, respectivamente, y utilícelos para calcular las características de Euler. Entonces S ′ tendrá el mismo número de caras d- dimensionales para d diferentes de cero, pero menos vértices de los esperados. Por tanto, encontramos una fórmula "corregida"
(todos, excepto un número finito de P, tienen e P = 1, por lo que esto es bastante seguro). Esta fórmula se conoce como fórmula de Riemann-Hurwitz y también como teorema de Hurwitz .
Referencias
- ^ Hurwitz-Courant, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie , 1922 (4ª ed., Apéndice de H. Röhrl, vol. 3, Grundlehren der mathischen Wissenschaften . Springer, 1964.)
- ^ Clasificación de MSC para 30CXX, Teoría de funciones geométricas, recuperado de http://www.ams.org/msc/msc2010.html el 16 de septiembre de 2014.
- ^ MSC80 en el sistema de clasificación MSC
- Hurwitz-Courant, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie , 1922 (4a ed., Apéndice de H. Röhrl, vol. 3, Grundlehren der mathischen Wissenschaften . Springer, 1964.)
- Krantz, Steven (2006). Teoría de funciones geométricas: exploraciones en análisis complejos . Saltador. ISBN 0-8176-4339-7.
- Bulboacă, T .; Cho, NE; Kanas, RAE (2012). "Nuevas tendencias en la teoría de funciones geométricas 2011" (PDF) . Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2012 : 1. doi : 10.1155 / 2012/976374 .
- Ahlfors, Lars (2010). Invariantes conformales: temas de la teoría de funciones geométricas . AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821852705.