Distribución Log-Cauchy

Log-Cauchy

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\displaystyle \mu }$( real ) (real) ${\displaystyle \displaystyle \sigma >0\!}$
Apoyo	${\displaystyle \displaystyle x\in (0,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}},\ \ x>0}$
Significar	infinito
Mediana	${\displaystyle e^{\mu }\,}$
Diferencia	infinito
Oblicuidad	no existe
Ex. curtosis	no existe
MGF	no existe

En la teoría de la probabilidad, una distribución log-Cauchy es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo se distribuye de acuerdo con una distribución de Cauchy . Si X es una variable aleatoria con una distribución de Cauchy, entonces Y = exp ( X ) tiene una distribución log-Cauchy; del mismo modo, si Y tiene una distribución log-Cauchy, entonces X  = log ( Y ) tiene una distribución de Cauchy. ^[1]

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La distribución log-Cauchy tiene la función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}}$

donde es un número real y . ^{[1] [2]} Si se conoce, el parámetro de escala es . ^[1] y corresponden al parámetro de ubicación y al parámetro de escala de la distribución de Cauchy asociada. ^{[1] [3]} Algunos autores definen y como la ubicación y los parámetros de escala, respectivamente, de la distribución log-Cauchy. ^[3]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle e^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

Para y , correspondiente a una distribución de Cauchy estándar, la función de densidad de probabilidad se reduce a: ^[4]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi (1+(\ln x)^{2})}},\ \ x>0}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa ( CDF ) cuando y es: ^[4]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Función de supervivencia

La función de supervivencia cuando y es: ^[4]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Tasa de peligro

La tasa de riesgo cuando y es: ^[4]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left({\frac {1}{x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^{2}\right)}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right)\right)^{-1},\ \ x>0}$

La tasa de riesgo disminuye al principio y al final de la distribución, pero puede haber un intervalo durante el cual aumenta la tasa de riesgo. ^[4]

Propiedades

La distribución log-Cauchy es un ejemplo de distribución de cola pesada . ^[5] Algunos autores la consideran una distribución de "cola superpesada", porque tiene una cola más pesada que una distribución de Pareto, tipo cola pesada, es decir, tiene una cola en descomposición logarítmica . ^{[5] [6]} Al igual que con la distribución de Cauchy, ninguno de los momentos no triviales de la distribución log-Cauchy es finito. ^[4] La media es un momento, por lo que la distribución log-Cauchy no tiene una media o desviación estándar definida . ^{[7] [8]}

La distribución log-Cauchy es infinitamente divisible para algunos parámetros pero no para otros. ^[9] Al igual que la distribución logarítmica normal , la distribución log-to log-Student y la distribución Weibull , la distribución log-Cauchy es un caso especial de la distribución beta generalizada del segundo tipo . ^{[10] [11]} El log-Cauchy es en realidad un caso especial de la distribución log-t, similar a que la distribución de Cauchy es un caso especial de la distribución t de Student con 1 grado de libertad. ^{[12] [13]}

Dado que la distribución de Cauchy es una distribución estable , la distribución log-Cauchy es una distribución logarítmica estable. ^[14] Las distribuciones logestables tienen polos en x = 0. ^[13]

Estimación de parámetros

La mediana de los logaritmos naturales de una muestra es un estimador robusto de . ^[1] La desviación absoluta mediana de los logaritmos naturales de una muestra es un estimador robusto de . ^[1]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

Usos

En las estadísticas bayesianas , la distribución log-Cauchy se puede utilizar para aproximar la densidad inadecuada de Jeffreys- Haldano, 1 / k, que a veces se sugiere como la distribución previa para k donde k es un parámetro positivo que se estima. ^{[15] [16]} La distribución log-Cauchy puede usarse para modelar ciertos procesos de supervivencia donde pueden ocurrir valores atípicos significativos o resultados extremos. ^{[2] [3] [17]} Un ejemplo de un proceso en el que una distribución log-Cauchy puede ser un modelo apropiado es el tiempo que transcurre entre que alguien se infecta con el virus del VIH y muestra los síntomas de la enfermedad, que puede ser muy largo para algunas personas. .^[3] También se ha propuesto como modelo para los patrones de abundancia de especies. ^[18]

Referencias

1. Olive, DJ (23 de junio de 2008). "Estadísticas robustas aplicadas" (PDF) . Universidad del Sur de Illinois. pag. 86. Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2011 . Consultado el 18 de octubre de 2011 .
2. Lindsey, JK (2004). Análisis estadístico de procesos estocásticos en el tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.  33 , 50, 56, 62, 145. ISBN 978-0-521-83741-5.
3. Modo, CJ y Sleeman, CK (2000). Procesos estocásticos en epidemiología: VIH / SIDA, otras enfermedades infecciosas . World Scientific. págs.  29 –37. ISBN 978-981-02-4097-4.
4. Marshall, AW y Olkin, I. (2007). Distribuciones de vida: estructura de familias no paramétricas, semiparamétricas y paramétricas . Saltador. págs.  443 –444. ISBN 978-0-387-20333-1.
5. Falk, M .; Hüsler, J. y Reiss, R. (2010). Leyes de los números pequeños: extremos y eventos raros . Saltador. pag. 80 . ISBN 978-3-0348-0008-2.
6. Alves, FOMIN; de Haan, L. & Neves, C. (10 de marzo de 2006). "Inferencia estadística para distribuciones de colas pesadas y superpesadas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de junio de 2007.
7. "Momento" . Mathworld . Consultado el 19 de octubre de 2011 .
8. Wang, Y. "Derrames de comercio, capital humano y tecnología: un análisis de nivel de industria". Universidad de Carleton: 14.
9. Bondesson, L. (2003). "Sobre la medida de Lévy de las distribuciones Lognormal y LogCauchy" . Metodología y computación en probabilidad aplicada : 243-256. Archivado desde el original el 25 de abril de 2012 . Consultado el 18 de octubre de 2011 .
10. Knight, J. y Satchell, S. (2001). Devolver distribuciones en finanzas . Butterworth-Heinemann. pag. 153 . ISBN 978-0-7506-4751-9.
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12. MacDonald, JB (1981). "Midiendo la desigualdad de ingresos". En Taillie, C .; Patil, GP; Baldessari, B. (eds.). Distribuciones estadísticas en el trabajo científico: actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN . Saltador. pag. 169. ISBN 978-90-277-1334-6.
13. Kleiber, C. y Kotz, S. (2003). Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencia actuarial . Wiley. págs.  101 –102, 110. ISBN 978-0-471-15064-0.
14. Panton, DB (mayo de 1993). "Valores de la función de distribución para distribuciones logstables". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 25 (9): 17-24. doi : 10.1016 / 0898-1221 (93) 90128-I .
15. Bien, IJ (1983). Buen pensamiento: los fundamentos de la probabilidad y sus aplicaciones . Prensa de la Universidad de Minnesota. pag. 102. ISBN 978-0-8166-1142-3.
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18. Zuo-Yun, Y .; et al. (Junio ​​de 2005). "LogCauchy, log-sech y distribuciones lognormal de abundancias de especies en comunidades forestales". Modelización ecológica . 184 (2–4): 329–340. doi : 10.1016 / j.ecolmodel.2004.10.011 .