En matemáticas , las coordenadas logarítmicas polares (o coordenadas polares logarítmicas ) son un sistema de coordenadas en dos dimensiones, donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo . Las coordenadas logarítmicas polares están estrechamente relacionadas con las coordenadas polares , que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional . En áreas como el análisis armónico y complejo , las coordenadas logarítmicas polares son más canónicas que las coordenadas polares.
Definición y transformaciones de coordenadas
Las coordenadas logpolares en el plano consisten en un par de números reales (ρ, θ), donde ρ es el logaritmo de la distancia entre un punto dado y el origen y θ es el ángulo entre una línea de referencia (el eje x ) y la línea que pasa por el origen y el punto. La coordenada angular es la misma que para las coordenadas polares, mientras que la coordenada radial se transforma según la regla
- .
dónde es la distancia al origen. Las fórmulas para la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas logarítmicas polares están dadas por
- [ dudoso ]
y las fórmulas para la transformación de coordenadas log-polares a cartesianas son
Al usar números complejos ( x , y ) = x + iy , la última transformación se puede escribir como
es decir, la función exponencial compleja. De esto se deduce que las ecuaciones básicas en el análisis armónico y complejo tendrán la misma forma simple que en las coordenadas cartesianas. Este no es el caso de las coordenadas polares.
Algunas ecuaciones importantes en coordenadas logarítmicas polares
Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace en dos dimensiones está dada por
en coordenadas cartesianas. Escribir la misma ecuación en coordenadas polares da la ecuación más complicada
o equivalente
Sin embargo, de la relación resulta que entonces la ecuación de Laplace en coordenadas log-polares,
tiene la misma expresión simple que en coordenadas cartesianas. Esto es cierto para todos los sistemas de coordenadas donde la transformación a coordenadas cartesianas viene dada por un mapeo conforme . Por lo tanto, cuando se considera la ecuación de Laplace para una parte del plano con simetría rotacional, por ejemplo, un disco circular, las coordenadas log-polares son la elección natural.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Una situación similar surge cuando se consideran funciones analíticas . Una función analítica escrito en coordenadas cartesianas satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Si la función en cambio se expresa en forma polar , las ecuaciones de Cauchy-Riemann toman la forma más complicada
Al igual que en el caso de la ecuación de Laplace, la forma simple de las coordenadas cartesianas se recupera cambiando las coordenadas polares a log-polares (sea ):
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann también se pueden escribir en una sola ecuación como
Expresando y en términos de y esta ecuación se puede escribir en la forma equivalente
Ecuación de Euler
Cuando se quiere resolver el problema de Dirichlet en un dominio con simetría rotacional, lo habitual es utilizar el método de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales para la ecuación de Laplace en forma polar. Esto significa que escribes. Luego, la ecuación de Laplace se divide en dos ecuaciones diferenciales ordinarias
dónde es una constante. El primero de ellos tiene coeficientes constantes y se resuelve fácilmente. El segundo es un caso especial de la ecuación de Euler.
dónde son constantes. Esta ecuación generalmente se resuelve con ansatz, pero mediante el uso del radio log-polar, se puede convertir en una ecuación con coeficientes constantes:
Al considerar la ecuación de Laplace, y entonces la ecuación para toma la forma simple
Al resolver el problema de Dirichlet en coordenadas cartesianas, estas son exactamente las ecuaciones para y . Por lo tanto, una vez más, la elección natural para un dominio con simetría rotacional no son las coordenadas polares, sino log-polares.
Geometría discreta
Para resolver un PDE numéricamente en un dominio, se debe introducir un sistema de coordenadas discretas en este dominio. Si el dominio tiene simetría rotacional y desea una cuadrícula que consta de rectángulos, las coordenadas polares son una mala elección, ya que en el centro del círculo dan lugar a triángulos en lugar de rectángulos. Sin embargo, esto se puede remediar introduciendo coordenadas logpolares de la siguiente manera. Divide el plano en una cuadrícula de cuadrados con una longitud de lado 2/ n , donde n es un número entero positivo. Utilice la función exponencial compleja para crear una cuadrícula logarítmica polar en el plano. El semiplano izquierdo se mapea luego en el disco unitario, con el número de radios igual an . En su lugar, puede ser incluso más ventajoso mapear las diagonales en estos cuadrados, lo que da un sistema de coordenadas discreto en el disco unitario que consta de espirales, vea la figura a la derecha.
Operador de Dirichlet a Neumann
El último sistema de coordenadas es adecuado, por ejemplo, para tratar problemas de Dirichlet y Neumann. Si el sistema de coordenadas discretas se interpreta como un gráfico no dirigido en el disco unitario, puede considerarse como un modelo para una red eléctrica. A cada segmento de línea en el gráfico se le asocia una conductancia dada por una función. La red eléctrica servirá entonces como modelo discreto para el problema de Dirichlet en el disco unitario, donde la ecuación de Laplace toma la forma de la ley de Kirchhoff. En los nodos del límite del círculo, se define un potencial eléctrico (datos de Dirichlet), que induce una corriente eléctrica (datos de Neumann) a través de los nodos del límite. El operador linealde los datos de Dirichlet a los datos de Neumann se denomina operador de Dirichlet a Neumann y depende de la topología y conductancia de la red.
En el caso del disco continuo, se deduce que si la conductancia es homogénea, digamos en todas partes, entonces el operador de Dirichlet-a-Neumann satisface la siguiente ecuación
Para obtener un buen modelo discreto del problema de Dirichlet, sería útil encontrar un gráfico en el disco unitario cuyo operador (discreto) de Dirichlet a Neumann tenga la misma propiedad. Aunque las coordenadas polares no nos dan ninguna respuesta, esto es aproximado / asintótico, lo que nos proporciona la red rotacionalmente simétrica dada por coordenadas log-polares. [1]
Análisis de imagen
Ya a finales de la década de 1970, se dieron aplicaciones para el sistema de coordenadas espirales discretas en el análisis de imágenes. Para representar una imagen en este sistema de coordenadas en lugar de en coordenadas cartesianas, ofrece ventajas computacionales al girar o hacer zoom en una imagen. Además, los fotorreceptores en la retina del ojo humano están distribuidos de una manera que tiene grandes similitudes con el sistema de coordenadas espirales. [2] También se puede encontrar en el fractal de Mandelbrot (ver imagen a la derecha).
Las coordenadas logarítmicas polares también se pueden utilizar para construir métodos rápidos para la transformada de radón y su inversa. [3]
Ver también
enlaces externos
Referencias
- ^ https://www.academia.edu/19660770/On_square_root_of_minus_Laplacian
- ^ Weiman, Chaikin, Cuadrículas en espiral logarítmicas para procesamiento y visualización de imágenes , gráficos por computadora y procesamiento de imágenes 11, 197-226 (1979).
- ^ Andersson, Fredrik, Inversión rápida de la transformada de radón utilizando coordenadas logarítmicas polares y retroproyecciones parciales , SIAM J. Appl. Matemáticas. 65, 818–837 (2005).