Operador de Poincaré-Steklov

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En matemáticas , un operador de Poincaré-Steklov (después de Henri Poincaré y Vladimir Steklov ) mapea los valores de una condición de frontera de la solución de una ecuación diferencial parcial elíptica en un dominio a los valores de otra condición de frontera. Por lo general, cualquiera de las condiciones de contorno determina la solución. Así, un operador de Poincaré-Steklov encapsula la respuesta de frontera del sistema modelado por la ecuación diferencial parcial. Cuando la ecuación diferencial parcial está discretizada, por ejemplo por elementos finitos o diferencias finitas, la discretización del operador de Poincaré-Steklov es el complemento de Schur obtenido al eliminar todos los grados de libertad dentro del dominio.

Tenga en cuenta que puede haber muchas condiciones de contorno diferentes adecuadas para una ecuación diferencial parcial dada y la dirección en la que un operador de Poincaré-Steklov mapea los valores de uno en otro viene dada solo por una convención. ^[1]

Considere una distribución de temperatura en estado estable en un cuerpo para valores de temperatura dados en la superficie del cuerpo. Entonces, el flujo de calor resultante a través del límite (es decir, el flujo de calor que se requeriría para mantener la temperatura de la superficie dada) se determina de manera única. El mapeo de la temperatura de la superficie al flujo de calor de la superficie es un operador de Poincaré-Steklov. Este operador particular de Poincaré-Steklov se denomina operador Dirichlet to Neumann (DtN). Los valores de la temperatura en la superficie son la condición de frontera de Dirichlet de la ecuación de Laplace , que describe la distribución de la temperatura dentro del cuerpo. El flujo de calor a través de la superficie es elCondición de frontera de Neumann (proporcional a la derivada normal de la temperatura).

Matemáticamente, para una función armónica en un dominio , el operador de Dirichlet a Neumann mapea los valores de en el límite de a la derivada normal en el límite de . Este operador de Poincaré-Steklov es la base de la subestructuración iterativa . ^[2]${\ Displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial u/\partial n}$${\displaystyle \Omega }$

El problema de la frontera inversa de Calderón es el problema de encontrar el coeficiente de una ecuación diferencial parcial elíptica de una forma de divergencia a partir de su operador de Dirichlet a Neumann. Ésta es la formulación matemática de la tomografía de impedancia eléctrica .

La solución de la ecuación diferencial parcial en un dominio externo da lugar a un operador de Poincaré-Steklov que lleva la condición de frontera del infinito al límite. Un ejemplo es el operador de Dirichlet-to-Neumann que mapea la temperatura dada en el límite de una cavidad en un medio infinito con temperatura cero en el infinito al flujo de calor en el límite de la cavidad. De manera similar, se puede definir el operador de Dirichlet a Neumann en el límite de una esfera para la solución de la ecuación de Helmholtzen el exterior de la esfera. Las aproximaciones de este operador son la base de una clase de método para el modelado de la dispersión acústica en un medio infinito, con el dispersor encerrado en la esfera y el operador de Poincaré-Steklov actuando como una condición de frontera no reflectante (o absorbente). ^[3]

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