En matemáticas, en la topología de 3 variedades , el teorema del bucle es una generalización del lema de Dehn . El teorema del bucle fue probado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de Esfera .
Una versión simple y útil del teorema del bucle establece que si para una variedad M tridimensional con límite ∂M hay un mapa
con no nulo homotópico en , entonces hay una incrustación con la misma propiedad.
La siguiente versión del teorema del bucle, debido a John Stallings , se da en los tratados estándar de tres variedades (como Hempel o Jaco):
Dejar ser un 3-múltiple y dejar ser una superficie conectada en . Dejarser un subgrupo normal tal que. Dejar
ser un mapa continuo tal que
y
Entonces existe una incrustación
tal que
y
Además, si uno comienza con un mapa f en posición general, entonces para cualquier vecindario U del conjunto de singularidad de f , podemos encontrar tal g con la imagen dentro de la unión de la imagen de f y U.
La prueba de Stalling utiliza una adaptación, debida a Whitehead y Shapiro, de la "construcción de torres" de Papakyriakopoulos. La "torre" se refiere a una secuencia especial de revestimientos diseñados para simplificar los ascensores del mapa dado. Papakyriakopoulos utilizó la misma construcción de la torre para probar el teorema de la esfera (3 variedades) , que establece que un mapa no trivial de una esfera en una 3 variedad implica la existencia de una incrustación no trivial de una esfera. También hay una versión del lema de Dehn para discos mínimos debido a Meeks y S.-T. Yau, que también depende fundamentalmente de la construcción de la torre.
Existe una prueba de que no se utiliza la construcción de la torre de la primera versión del teorema del bucle. Esto fue hecho esencialmente hace 30 años por Friedhelm Waldhausen como parte de su solución al problema verbal de las variedades Haken ; aunque reconoció que esto daba una prueba del teorema del bucle, no escribió una demostración detallada. El ingrediente esencial de esta prueba es el concepto de jerarquía Haken . Las pruebas fueron redactadas más tarde por Klaus Johannson , Marc Lackenby e Iain Aitchison con Hyam Rubinstein .
Referencias
- W. Jaco, Conferencias sobre topología de 3 variedades , serie de conferencias regionales AMS en Matemáticas 43.
- J. Hempel, 3-manifolds , Princeton University Press 1976.
- Nacedora, Notas sobre la topología básica de tres colectores , disponible en línea