En matemáticas , el lema de Dehn afirma que un mapa lineal por partes de un disco en una variedad de 3 , con la singularidad del mapa establecida en el interior del disco , implica la existencia de otro mapa lineal por partes del disco que es una incrustación y es idéntico al original en el límite del disco.
Se pensó que este teorema había sido probado por Max Dehn ( 1910 ), pero Hellmuth Kneser ( 1929 , página 260) encontró un vacío en la demostración. El estatus del lema de Dehn permaneció en duda hasta que Christos Papakyriakopoulos ( 1957 , 1957b ) usando el trabajo de Johansson (1938) lo demostró usando su "construcción de torres". También generalizó el teorema al teorema del lazo y al teorema de la esfera .
Construcción de torres
Papakyriakopoulos demostró el lema de Dehn usando una torre de espacios de cobertura . Poco después, Arnold Shapiro y JHC Whitehead ( 1958 ) dieron una prueba sustancialmente más simple, demostrando un resultado más poderoso. Su prueba utilizó la construcción de la torre de Papakyriakopoulos, pero con cubiertas dobles, de la siguiente manera:
- Paso 1: tome repetidamente una cubierta doble conectada de un vecindario regular de la imagen del disco para producir una torre de espacios, cada una de las cuales es una cubierta doble conectada de la que está debajo. El mapa del disco se puede subir a todas las etapas de esta torre. Cada doble cubierta simplifica las singularidades de la incrustación del disco, por lo que solo es posible tomar un número finito de dichas cubiertas dobles, y el nivel superior de esta torre no tiene cubiertas dobles conectadas.
- Paso 2. Si el colector de 3 no tiene cubiertas dobles conectadas, entonces todos sus componentes de contorno son 2 esferas. En particular, el nivel superior de la torre tiene esta propiedad, y en este caso es fácil modificar el mapa desde el disco para que sea una incrustación.
- Paso 3. La incrustación del disco ahora se puede empujar hacia abajo de la torre de cubiertas dobles un paso a la vez, cortando y pegando el disco de 2.
Referencias
- Bing, RH (1983), La topología geométrica de 3 variedades , American Mathematical Society , p. 183, ISBN 0-8218-1040-5
- Dehn, Max (1910), "Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes" , Mathematische Annalen , 69 : 137–168, doi : 10.1007 / BF01455155
- Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), "PL Equivariant Surgery and Invariant Decompositions of 3-Manifolds", Advances in Mathematics , 73 (2): 149-191, doi : 10.1016 / 0001-8708 (89) 90067-4
- Johansson, Ingebrigt (1935), "Über singuläre Elementarflächen und das Dehnsche Lemma", Mathematische Annalen , 110 : 312–330, doi : 10.1007 / BF01448029
- Johansson, Ingebrigt (1938), "Teil 2, Thematische Annalen", Mathematische Annalen , 115 : 658–669, doi : 10.1007 / BF01448964
- Kneser, Hellmuth (1929), "Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten" , Jber. Alemán. Matemáticas. Verein. , 38 : 248–260
- Papakyriakopoulos, CD (1957), "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 43 (1): 169-172, código Bib : 1957PNAS ... 43..169P , doi : 10.1073 / pnas.43.1.169 , MR 0082671 , PMC 528404 , PMID 16589993
- Papakyriakopoulos, CD (1957b), "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos", Annals of Mathematics , 66 (1): 1–26, doi : 10.2307 / 1970113 , JSTOR 1970113 , MR 0090053 , PMC 528404
- Rubinstein, JH (2003), el lema de Dehn y el teorema del bucle , topología de baja dimensión, nuevos estudios en matemáticas avanzadas, Vol 3 International Press, págs. 61–68
- Stallings, JR (1971), Teoría de grupos y variedades tridimensionales , Yale University Press , ISBN 0-300-01397-3
- Shapiro, Arnold ; Whitehead, JHC (1958), "Una prueba y extensión del lema de Dehn", Bulletin of the American Mathematical Society , AMS, 64 (4): 174-178, doi : 10.1090 / S0002-9904-1958-10198-6
Enlace externo
- prueba de Papakyriakopoulos de 1957