Las unidades Lorentz-Heaviside (o unidades Heaviside-Lorentz ) constituyen un sistema de unidades (particularmente unidades electromagnéticas) dentro de CGS , llamado así por Hendrik Antoon Lorentz y Oliver Heaviside . Comparten con las unidades CGS-Gaussianas la propiedad de que la constante eléctrica ε 0 y la constante magnética µ 0 no aparecen, habiendo sido incorporadas implícitamente a las magnitudes electromagnéticas por la forma en que se definen. Se puede considerar que las unidades de Lorentz-Heaviside normalizan ε 0 = 1 y µ 0 = 1, mientras que al mismo tiempo se revisan las ecuaciones de Maxwell para usar la velocidad de la luz c en su lugar. [1]
Las unidades de Lorentz-Heaviside, como las unidades del SI pero a diferencia de las unidades de Gauss , están racionalizadas , lo que significa que no hay factores de 4 π que aparezcan explícitamente en las ecuaciones de Maxwell . [2] El hecho de que estas unidades estén racionalizadas explica en parte su atractivo en la teoría cuántica de campos : el Lagrangiano subyacente a la teoría no tiene ningún factor de 4 π en estas unidades. [3] En consecuencia, las unidades de Lorentz-Heaviside se diferencian por factores de √ 4 π en las definiciones de los campos eléctricos y magnéticos y de la carga eléctrica . A menudo se usan en cálculos relativistas , [nota 1] y se usan en física de partículas . Son particularmente convenientes cuando se realizan cálculos en dimensiones espaciales mayores de tres, como en la teoría de cuerdas .
Marco de duración-masa-tiempo
Como en las unidades gaussianas, las unidades Heaviside-Lorentz (HLU en este artículo) usan las dimensiones longitud-masa-tiempo . Esto significa que todas las unidades eléctricas y magnéticas se pueden expresar en términos de las unidades base de longitud, tiempo y masa.
La ecuación de Coulomb, utilizada para definir la carga en estos sistemas, es F = qG
1qG
2/ r 2 en el sistema gaussiano, y F = qLH
1qLH
2/ 4 πr 2 en el HLU. La unidad de carga luego se conecta a 1 dyn⋅cm 2 = 1 esu 2 = 4 π hlu . La cantidad de HLU q LH que describe una carga es entonces √ 4 π mayor que la cantidad de Gauss correspondiente (ver más abajo), y el resto sigue.
Cuando se usa el análisis dimensional para unidades SI, incluyendo ε 0 y μ 0 se usan para convertir unidades, el resultado da la conversión hacia y desde las unidades Heaviside-Lorentz. Por ejemplo, la carga es √ ε 0 L 3 MT −2 . Cuando se pone ε 0 = 8.854 pF / m , L = 0.01 m , M = 0.001 kg y T = 1 segundo, esto se evalúa como9.409 669 × 10 -11 C . Este es el tamaño de la unidad de carga HLU.
Ecuaciones de Maxwell con fuentes
Con las unidades de Lorentz-Heaviside, las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre con fuentes toman la siguiente forma:
donde c es la velocidad de la luz en el vacío . Aquí E LH = D LH es el campo eléctrico , H LH = B LH es el campo magnético , ρ LH es la densidad de carga y J LH es la densidad de corriente .
La ecuación de fuerza de Lorentz es:
aquí q LH es la carga de una partícula de prueba con velocidad vectorial v y F es la fuerza eléctrica y magnética combinada que actúa sobre esa partícula de prueba.
Tanto en el sistema Gaussiano como en el Heaviside-Lorentz, las unidades eléctricas y magnéticas se derivan de los sistemas mecánicos. La carga se define mediante la ecuación de Coulomb, con ε = 1 . En el sistema gaussiano, la ecuación de Coulomb es F = qG
1qG
2/ r 2 . En el sistema Lorentz-Heaviside, F = qLH
1qLH
2/ 4 πr 2 . A partir de esto, se ve que qG
1qG
2 = qLH
1qLH
2/ 4 π , que las cantidades de carga gaussiana son más pequeñas que las cantidades de Lorentz-Heaviside correspondientes por un factor de √ 4 π . Otras cantidades se relacionan de la siguiente manera.
- .
Lista de ecuaciones y comparación con otros sistemas de unidades.
Esta sección tiene una lista de las fórmulas básicas del electromagnetismo, dadas en unidades Lorentz-Heaviside, Gaussian y SI. La mayoría de los nombres de los símbolos no se dan; Para obtener explicaciones y definiciones completas, haga clic en el artículo dedicado correspondiente a cada ecuación.
Ecuaciones de Maxwell
Aquí están las ecuaciones de Maxwell, tanto en forma macroscópica como microscópica. Sólo se da la "forma diferencial" de las ecuaciones, no la "forma integral"; para obtener las formas integrales, aplique el teorema de divergencia o el teorema de Kelvin-Stokes .
Nombre | Cantidades SI | Cantidades de Lorentz-Heaviside | Cantidades gaussianas |
---|---|---|---|
Ley de Gauss (macroscópica) | |||
Ley de Gauss (microscópica) | |||
Ley de Gauss para el magnetismo : | |||
Ecuación de Maxwell-Faraday ( ley de inducción de Faraday ): | |||
Ecuación de Ampère-Maxwell (macroscópica): | |||
Ecuación de Ampère-Maxwell (microscópica): |
Otras leyes básicas
Nombre | Cantidades SI | Cantidades de Lorentz-Heaviside | Cantidades gaussianas |
---|---|---|---|
Fuerza de Lorentz | |||
ley de Coulomb | | ||
Campo eléctrico de carga puntual estacionaria | |||
Ley de Biot-Savart |
Materiales dieléctricos y magnéticos
A continuación se muestran las expresiones para los diversos campos en un medio dieléctrico. Se asume aquí por simplicidad que el medio es homogéneo, lineal, isotrópico y no dispersivo, de modo que la permitividad es una constante simple.
Cantidades SI | Cantidades de Lorentz-Heaviside | Cantidades gaussianas |
---|---|---|
dónde
- el superíndice ( SI , LH , G ) indica en qué sistema se define la cantidad
- E y D son el campo eléctrico y el campo de desplazamiento , respectivamente;
- P es la densidad de polarización ;
- es la permitividad ;
- es la permitividad del vacío (utilizada en el sistema SI, pero sin sentido en los sistemas Gaussiano y Lorentz-Heaviside);
- es la susceptibilidad eléctrica
Las cantidades , y son adimensionales y tienen el mismo valor numérico. Por el contrario, la susceptibilidad eléctrica es adimensional en todos los sistemas, pero tiene diferentes valores numéricos para el mismo material:
A continuación, aquí están las expresiones para los diversos campos en un medio magnético. Nuevamente, se asume que el medio es homogéneo, lineal, isotrópico y no dispersivo, de modo que la permeabilidad se puede expresar como una constante escalar.
Cantidades SI | Cantidades de Lorentz-Heaviside | Cantidades gaussianas |
---|---|---|
dónde
- el superíndice ( SI , LH , G ) indica en qué sistema se define la cantidad
- B y H son los campos magnéticos
- M es la magnetización
- es la permeabilidad magnética
- es la permeabilidad del vacío (utilizada en el sistema SI, pero sin sentido en los sistemas Gaussiano y Lorentz-Heaviside);
- es la susceptibilidad magnética
Las cantidades , y son adimensionales y tienen el mismo valor numérico. Por el contrario, la susceptibilidad magnética es adimensional en todos los sistemas, pero tiene diferentes valores numéricos para el mismo material:
Potenciales vectoriales y escalares
Los campos eléctricos y magnéticos se pueden escribir en términos de un potencial vectorial A y un potencial escalar.:
Nombre | Cantidades SI | Cantidades de Lorentz-Heaviside | Cantidades gaussianas |
---|---|---|---|
Campo eléctrico (estático) | |||
Campo eléctrico (general) | |||
Campo magnético B |
Traducir expresiones y fórmulas entre sistemas
Para convertir cualquier expresión o fórmula entre los sistemas SI, Lorentz-Heaviside o Gaussiano, las cantidades correspondientes que se muestran en la siguiente tabla pueden equipararse directamente y, por lo tanto, sustituirse. Esto reproducirá cualquiera de las fórmulas específicas dadas en la lista anterior, como las ecuaciones de Maxwell.
Como ejemplo, comenzando con la ecuación
y las ecuaciones de la tabla
moviendo el factor a través de las últimas identidades y sustituyéndolo, el resultado es
que luego se simplifica a
Nombre | Unidades SI | Unidades de Lorentz-Heaviside | Unidades gaussianas |
---|---|---|---|
campo eléctrico , potencial eléctrico | |||
campo de desplazamiento eléctrico | |||
carga eléctrica , densidad de carga eléctrica , corriente eléctrica , densidad de corriente eléctrica , polarización eléctrica , momento dipolar eléctrico | |||
campo magnético B , flujo magnético , potencial de vector magnético | |||
campo magnético H | |||
momento magnético , magnetización | |||
permitividad relativa , permeabilidad relativa | |||
susceptibilidad eléctrica , susceptibilidad magnética | |||
conductividad , conductancia , capacitancia | |||
resistividad , resistencia , inductancia |
Reemplazo de CGS con unidades naturales
Cuando uno toma las ecuaciones estándar del libro de texto SI y establece ε 0 = µ 0 = c = 1 para obtener unidades naturales , las ecuaciones resultantes siguen la formulación y los tamaños de Heaviside-Lorentz. La conversión no requiere cambios en el factor 4 π , a diferencia de las ecuaciones de Gauss. Ecuación ley del cuadrado inverso de Coulomb en el SI es F = q 1 q 2 /4 πε 0 r 2 . Set varepsilon 0 = 1 para obtener la forma HLU: F = q 1 q 2 /4 πr 2 . La forma gaussiana no tiene el 4 π en el denominador.
Al establecer c = 1 con HLU, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Lorentz se vuelven iguales a las del ejemplo SI con ε 0 = µ 0 = c = 1 .
Debido a que estas ecuaciones pueden relacionarse fácilmente con el trabajo de SI, los sistemas racionalizados se están poniendo más de moda.
En mecánica cuántica
Además, el establecimiento de ε 0 = µ 0 = c = ħ = k B = 1 produce un sistema de unidades naturales parametrizado por un valor de escala único, que puede elegirse como un valor de masa, tiempo, energía, longitud, etc. por ejemplo una masa m , las otras se determinan multiplicando con estas constantes: la escala de longitud a través de l = m / mc , y la escala de tiempo de t = ħ / mc 2 , etc.
Unidades Lorentz – Heaviside Planck
Configuración produce las unidades de Planck de Lorentz-Heaviside , o unidades de Planck racionalizadas . La escala de masa se elige de manera que la constante gravitacional sea, igual a la constante de Coulomb . (Por el contrario, las unidades de Planck gaussianas.)
Formulario SI | Forma no dimensionalizada | |
---|---|---|
Equivalencia masa-energía en relatividad especial | ||
Relación energía-momento | ||
Ley de los gases ideales | ||
Energía térmica por partícula por grado de libertad | ||
Fórmula de la entropía de Boltzmann | ||
Relación de Planck-Einstein para frecuencia angular | ||
Ley de Planck para cuerpo negro a temperatura T | ||
Constante de Stefan-Boltzmann σ definida | ||
Ecuación de Schrödinger | ||
Forma hamiltoniana de la ecuación de Schrödinger | ||
Forma covariante de la ecuación de Dirac | ||
Unruh temperatura | ||
ley de Coulomb | ||
Ecuaciones de Maxwell |
|
|
Ley de Biot-Savart | ||
Ley de Biot-Savart | ||
Intensidad de campo eléctrico e inducción eléctrica. | ||
Intensidad del campo magnético e inducción magnética. | ||
Ley de Newton de la gravitación universal | ||
Ecuaciones de campo de Einstein en relatividad general | ||
Radio de Schwarzschild | ||
Hawking temperatura de un agujero negro | ||
Bekenstein - Entropía del agujero negro de Hawking [4] |
Notas
- ^ Como lo usa Einstein, como en su libro: Einstein, Albert (2005). "El significado de la relatividad (1956, 5ª edición)" . Prensa de la Universidad de Princeton (2005). págs. 21 y sigs.
Referencias
- ^ Silsbee, Francis (abril-junio de 1962). "Sistemas de Unidades Eléctricas" . Revista de Investigación de la Oficina Nacional de Normalización Sección C . 66C (2): 137–183. doi : 10.6028 / jres.066C.014 .
- ^ Kowalski, Ludwik, 1986, " Una breve historia de las unidades SI en electricidad , archivado el 29 de abril de 2009 en la Wayback Machine " The Physics Teacher 24 (2): 97-99. Enlace web alternativo (se requiere suscripción)
- ^ Littlejohn, Robert (otoño de 2011). "Gaussiano, SI y otros sistemas de unidades en teoría electromagnética" (PDF) . Physics 221A, University of California, Berkeley Lecture notes . Consultado el 6 de mayo de 2008 .
- ↑ Véase también Roger Penrose (1989) The Road to Reality . Universidad de Oxford. Presione: 714-17. Knopf.
enlaces externos
- Unidades de Heaviside-Lorentz