El ultraproducto es una construcción matemática que aparece principalmente en el álgebra abstracta y la lógica matemática , en particular en la teoría de modelos y la teoría de conjuntos . Un ultraproducto es un cociente del producto directo de una familia de estructuras . Todos los factores deben tener la misma firma . La ultrapotencia es el caso especial de esta construcción en la que todos los factores son iguales.
Por ejemplo, los ultrapoderes se pueden utilizar para construir nuevos campos a partir de campos determinados. Los números hiperrealistas , un ultrapoder de los números reales , son un caso especial de esto.
Algunas aplicaciones sorprendentes de los ultraproductos incluyen demostraciones muy elegantes del teorema de la compacidad y el teorema de la completitud , el teorema de la ultrapotencia de Keisler , que da una caracterización algebraica de la noción semántica de equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y su monomorfismos para construir modelos de análisis no estándar, lo que llevó al crecimiento del área de análisis no estándar , que fue pionera (como una aplicación del teorema de compacidad) por Abraham Robinson .
El método general para conseguir ultraproductos utiliza un conjunto de índices I , una estructura M i para cada elemento i de I (todos de la misma firma ), y un ultrafiltro U en I . Se suele considerar esto en el caso de que I sea infinito y U contenga todos los subconjuntos cofinitos de I , es decir, U no es un ultrafiltro principal . En el caso principal, el ultraproducto es isomorfo a uno de los factores.
se definen puntualmente (por ejemplo, para una función binaria +, ( a + b ) i = a i + b i ), y una relación de equivalencia está definida por a ~ b si
y el ultraproducto es el cociente establecido con respecto a ~. Por lo tanto, el ultraproducto a veces se denota por