Especifica el número de palabras de un código lineal binario de cada posible peso de Hamming.
En la teoría de la codificación , el polinomio del enumerador de ponderaciones de un código lineal binario especifica el número de palabras de cada posible ponderación de Hamming .
Sea una longitud de código lineal binario . La distribución del peso es la secuencia de números. C ⊂ F 2 norte {\ Displaystyle C \ subconjunto \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}} norte {\ Displaystyle n}
A t = # { C ∈ C ∣ w ( C ) = t } {\ Displaystyle A_ {t} = \ # \ {c \ in C \ mid w (c) = t \}} dando el número de palabras de código c en C que tienen un peso t cuando t varía de 0 a n . El enumerador de peso es el polinomio bivariado
W ( C ; X , y ) = ∑ w = 0 norte A w X w y norte - w . {\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{n-w}.} Propiedades básicas W ( C ; 0 , 1 ) = A 0 = 1 {\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1} W ( C ; 1 , 1 ) = ∑ w = 0 n A w = | C | {\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|} W ( C ; 1 , 0 ) = A n = 1 if ( 1 , … , 1 ) ∈ C and 0 otherwise {\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1{\mbox{ if }}(1,\ldots ,1)\in C\ {\mbox{ and }}0{\mbox{ otherwise}}} W ( C ; 1 , − 1 ) = ∑ w = 0 n A w ( − 1 ) n − w = A n + ( − 1 ) 1 A n − 1 + … + ( − 1 ) n − 1 A 1 + ( − 1 ) n A 0 {\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}} Identidad MacWilliams Denote el código dual de por C ⊂ F 2 n {\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}
C ⊥ = { x ∈ F 2 n ∣ ⟨ x , c ⟩ = 0 ∀ c ∈ C } {\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\forall c\in C\}} (donde denota el producto escalar del vector y cuál se toma ). ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle \ ,\ \rangle } F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
La identidad de MacWilliams afirma que
W ( C ⊥ ; x , y ) = 1 ∣ C ∣ W ( C ; y − x , y + x ) . {\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).} La identidad lleva el nombre de Jessie MacWilliams .
Enumerador de distancia La distribución de distancia o distribución interna de un código C de tamaño M y longitud n es la secuencia de números
A i = 1 M # { ( c 1 , c 2 ) ∈ C × C ∣ d ( c 1 , c 2 ) = i } {\displaystyle A_{i}={\frac {1}{M}}\#\left\lbrace (c_{1},c_{2})\in C\times C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace } donde i varía de 0 a n . El polinomio del enumerador de distancia es
A ( C ; x , y ) = ∑ i = 0 n A i x i y n − i {\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{n-i}} y cuando C es lineal, esto es igual al enumerador de peso.
La distribución exterior de C es la matriz B 2 n -por- n +1 con filas indexadas por elementos de GF (2) ny columnas indexadas por enteros 0 ... n , y entradas
B x , i = # { c ∈ C ∣ d ( c , x ) = i } . {\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .} La suma de las filas de B es M veces el vector de distribución interior ( A 0 , ..., A n ).
Un código C es regular si las filas de B correspondientes a las palabras de código de C son todas iguales.
Referencias