La teoría de conjuntos de Zermelo (a veces denotada por Z - ), tal como se establece en un artículo seminal en 1908 por Ernst Zermelo , es el antepasado de la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel (ZF) y sus extensiones, como el conjunto de von Neumann-Bernays-Gödel teoría (NBG). Tiene ciertas diferencias con sus descendientes, que no siempre se entienden y con frecuencia se citan erróneamente. Este artículo establece los axiomas originales , con el texto original (traducido al inglés) y la numeración original.
Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se establecen para objetos, algunos de los cuales (pero no necesariamente todos) son conjuntos, y los objetos restantes son urelements y no conjuntos. El lenguaje de Zermelo incluye implícitamente una relación de pertenencia ∈, una relación de igualdad = (si no está incluida en la lógica subyacente) y un predicado unario que dice si un objeto es un conjunto. Las versiones posteriores de la teoría de conjuntos a menudo asumen que todos los objetos son conjuntos, por lo que no hay elementos ur y no hay necesidad del predicado unario.
La teoría de conjuntos más utilizada y aceptada se conoce como ZFC, que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que incluye el axioma de elección (AC). Los enlaces muestran dónde corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No existe una coincidencia exacta para "conjuntos elementales". (Más tarde se demostró que el conjunto singleton podría derivarse de lo que ahora se llama el "Axioma de pares". Si a existe, a y a existen, entonces { a , a } existe, y así por extensionalidad { a , a } = { a }.) El axioma del conjunto vacío ya está asumido por el axioma del infinito, y ahora se incluye como parte de él.
La teoría de conjuntos de Zermelo no incluye los axiomas de reemplazo y regularidad . El axioma de reemplazo fue publicado por primera vez en 1922 por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem , quienes descubrieron de forma independiente que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...} donde Z 0 es el conjunto de números naturales y Z n +1 es el conjunto potencia de Z n. Ambos se dieron cuenta de que se necesita el axioma de reemplazo para probar esto. Al año siguiente, John von Neumann señaló que este axioma es necesario para construir su teoría de los ordinales . El axioma de regularidad fue enunciado por von Neumann en 1925. [1]
En el sistema ZFC moderno, la "función proposicional" a la que se refiere el axioma de separación se interpreta como "cualquier propiedad definible por una fórmula de primer orden con parámetros", por lo que el axioma de separación se reemplaza por un esquema de axioma . La noción de "fórmula de primer orden" no se conocía en 1908 cuando Zermelo publicó su sistema de axiomas, y luego rechazó esta interpretación por ser demasiado restrictiva. La teoría de conjuntos de Zermelo generalmente se considera una teoría de primer orden con el axioma de separación reemplazado por un esquema de axioma con un axioma para cada fórmula de primer orden. También se puede considerar como una teoría en lógica de segundo orden., donde ahora el axioma de separación es solo un axioma único. La interpretación de segundo orden de la teoría de conjuntos de Zermelo es probablemente más cercana a la propia concepción de Zermelo y es más fuerte que la interpretación de primer orden.
En la jerarquía acumulativa habitual V α de la teoría de conjuntos ZFC (para ordinales α), cualquiera de los conjuntos V α para α un ordinal límite mayor que el primer ordinal infinito ω (como V ω·2 ) forma un modelo de conjunto de Zermelo teoría. Entonces, la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo es un teorema de la teoría de conjuntos de ZFC. Los axiomas de Zermelo no implican la existencia de ℵ ω o infinitos cardinales mayores, ya que el modelo V ω·2 no contiene dichos cardinales. (Los cardinales deben definirse de manera diferente en la teoría de conjuntos de Zermelo, ya que la definición habitual de cardinales y ordinales no funciona muy bien: con la definición habitual ni siquiera es posible probar la existencia del ordinal ω2).