La tabla de senos de Madhava es la tabla de senos trigonométricos de varios ángulos construida por el matemático y astrónomo de Kerala del siglo XIV Madhava de Sangamagrama . La tabla enumera los senos trigonométricas de los veinticuatro ángulos de 3,75 °, 7,50 °, 11.25 °, ..., y 90,00 ° (ángulos que son integrales múltiplos de 3,75 °, es decir, 1/24 de un ángulo recto, a partir de 3,75 y termina en 90,00). La tabla está codificada en las letras de Devanagari usando el sistema Katapayadi . Esto le da a las entradas de la tabla una apariencia del versos de un poema en sánscrito .
El trabajo original de Madhava que contiene la tabla de senos aún no se ha rastreado. La tabla se ve reproducida en el Aryabhatiyabhashya de Nilakantha Somayaji [1] (1444-1544) y también en el comentario de Yuktidipika / Laghuvivrti de Tantrasamgraha por Sankara Variar (circa 1500-1560). [2]
La mesa
La imagen de abajo muestra la tabla de seno de Madhava en Devanagari como se reproduce en Fundamentos culturales de las matemáticas por CK Raju. [3] Las primeras doce líneas constituyen las entradas de la tabla. La última palabra de la decimotercera línea indica que estos son "según lo dicho por Madhava".
Valores en la mesa de Madhava
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Madhavasine.jpeg/300px-Madhavasine.jpeg)
Para comprender el significado de los valores tabulados por Madhava , considere algún ángulo cuya medida sea A. Considere un círculo de unidad de radio y centro O. Sea el arco PQ del círculo subtienda un ángulo A en el centro O. Suelte el QR perpendicular de Q a OP; entonces la longitud del segmento de línea RQ es el valor del seno trigonométrico del ángulo A. Sea PS un arco del círculo cuya longitud es igual a la longitud del segmento RQ. Para varios ángulos A, la tabla de Madhava da las medidas de los ángulos correspondientesPOS en minutos de arco , segundos de arco y sexagésimos de segundo de arco .
Como ejemplo, sea A un ángulo cuya medida es 22,50 °. En la tabla de Madhava, la entrada correspondiente a 22,50 ° es la medida en minutos de arco, segundos de arco y sexagésimas de segundos de arco del ángulo cuya medida en radianes es el valor moderno de sin 22,50 °. El valor numérico moderno de sen 22,50 ° es 0,382683432363 y,
- 0.382683432363 radianes = 180 / π × 0.382683432363 grados = 21.926145564094 grados.
y
- 21,926145564094 grados = 1315 minutos de arco 34 segundos de arco 07 sexagésimas de segundo de arco.
En el sistema Katapayadi, los dígitos se escriben en orden inverso. Así, en la tabla de Madhava, la entrada correspondiente a 22,50 ° es 70435131.
Derivación de senos trigonométricos de la tabla de Madhava
Para un ángulo cuya medida es A , sea
Luego
Cada una de las líneas de la tabla especifica ocho dígitos. Sean los dígitos correspondientes al ángulo A (leídos de izquierda a derecha)
Entonces, de acuerdo con las reglas del sistema Katapayadi de los matemáticos de Kerala, tenemos
El valor de pi de Madhava
Para completar los cálculos numéricos, uno debe tener conocimiento del valor de pi (). Es apropiado que usemos el valor de π calculado por el mismo Madhava. Nilakantha Somayaji ha dado este valor de π en su Āryabhaṭīya- Bhashya de la siguiente manera: [4]
Una transliteración de las dos últimas líneas:
vibudha-netra-gaja-ahi-hutāśana
tri-guṇa-veda-bha-vāraṇa-bāhavaḥ
nava-nikharva-mite vr̥tivistare
paridhi-mānam idaṁ jagadur budhāḥ
Las diversas palabras indican ciertos números codificados en un esquema conocido como sistema bhūtasaṃkhyā . El significado de las palabras y los números codificados por ellas (comenzando con el lugar de las unidades) se detallan en la siguiente traducción del verso: "Dioses (vibudha: 33), ojos (netra: 2), elefantes (gaja: 8), serpientes (ahi: 8), fuegos (hutāśana: 3), tres (tri: 3), cualidades (guṇa: 3), vedas (veda: 4), nakṣatras (bha: 27), elefantes (vāraṇa: 8) y brazos (bāhavaḥ: 2): los sabios dicen que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro de un círculo es nava-nikharva (900.000.000.000) ".
Entonces, la traducción del poema usando el sistema bhūtasaṃkhyā simplemente dirá "2827433388233 es, como dicen los sabios, la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es nava-nikharva (900,000,000,000)". Es decir, divida 2827433388233 (el número de las dos primeras líneas del poema en orden inverso) por nava-nikharva (900,000,000,000) para obtener el valor de pi (π). Este cálculo arroja el valor π = 3,1415926535922. Este es el valor de π utilizado por Madhava en sus cálculos posteriores y tiene una precisión de 11 decimales.
Ejemplo
La tabla de Madhava enumera los siguientes dígitos correspondientes al ángulo de 45,00 °:
Esto produce el ángulo con medida
El valor del seno trigonométrico de 45,00 ° como se indica en la tabla de Madhava es
Sustituyendo el valor de π calculado por Madhava en la expresión anterior, se obtiene sin 45 ° como 0,70710681.
Este valor puede compararse con el valor exacto moderno de sen 45,00 °, es decir, 0,70710678.
Comparación de los valores sinusoidales modernos y de Madhava
En la siguiente tabla, la primera columna contiene la lista de los veinticuatro ángulos que comienzan con 3,75 y terminan con 90,00. La segunda columna contiene los valores tabulados por Madhava en Devanagari en la forma en que fue dada por Madhava. (Estos están tomados del Comentario Malayalam de Karanapaddhati por PK Koru [5] y son ligeramente diferentes de la tabla dada en Fundamentos culturales de las matemáticas por CK Raju. [2] ) La tercera columna contiene transliteraciones ISO 15919 de las líneas dadas en la segunda columna. Los dígitos codificados por las líneas en la segunda columna se dan en números arábigos en la cuarta columna. Los valores de los senos trigonométricos derivados de los números especificados en la tabla de Madhava se enumeran en la quinta columna. Estos valores se calculan utilizando el valor aproximado 3,1415926535922 para π obtenido por Madhava. A modo de comparación, los valores exactos de los senos trigonométricos de los ángulos se dan en la sexta columna.
Ángulo A en grados | Números de Madhava para especificar el pecado A | Valor del pecado A derivado de la tabla de Madhava | Valor moderno del pecado A | ||
---|---|---|---|---|---|
en escritura Devanagari usando el sistema Katapayadi (como en la tabla original de Madhava ) | en el esquema de transliteración ISO 15919 | Valores decodificados en minutos segundos tercios | |||
श्रेष्ठं नाम वरिष्ठानां | śreṣṭhaṁ nāma variṣṭhānāṁ | 0.06540314 | 0.06540313 | ||
हिमाद्रिर्वेदभावनः | himādrirvēdabhāvanaḥ | 0.13052623 | 0.13052619 | ||
तपनो भानु सूक्तज्ञो | tapanō bhānu sūktajñō | 0.19509032 | 0.19509032 | ||
मध्यमं विद्धि दोहनं | maddhyamaṁ viddhi dōhanaṁ | 0,25881900 | 0.25881905 | ||
धिगाज्यो नाशनं कष्टं | dhigājyō nāśanaṁ kaṣṭaṁ | 0.32143947 | 0.32143947 | ||
छन्नभोगाशयाम्बिका | channabhōgāśayāmbikā | 0.38268340 | 0.38268343 | ||
मृगाहारो नरेशोयं | mr̥gāhārō narēśōyaṁ | 0,44228865 | 0,44228869 | ||
वीरो रणजयोत्सुकः | vīrō raṇajayōtsukaḥ | 0,49999998 | 0.50000000 | ||
मूलं विशुद्धं नाळस्य | mūlaṁ viṣuddhaṁ nāḷasya | 0.55557022 | 0.55557023 | ||
गानेषु विरळा नराः | gāneṣu viraḷā narāḥ | 0.60876139 | 0.60876143 | ||
अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः | aśuddhiguptā cōraśrīḥ | 0,65934580 | 0,65934582 | ||
शङ्कुकर्णो नगेश्वरः | śaṅkukarṇō nageśvaraḥ | 0,70710681 | 0,70710678 | ||
तनुजो गर्भजो मित्रं | tanujō garbhajō mitraṃ | 0,75183985 | 0,75183981 | ||
श्रीमानत्र सुखी सखे | śrīmānatra sukhī sakhē | 0,79335331 | 0,79335334 | ||
शशी रात्रौ हिमाहारौ | śaśī rātrou himāhārou | 0.83146960 | 0.83146961 | ||
वेगज्ञः पथि सिन्धुरः | vēgajñaḥ pathi sindhuraḥ | 0.86602543 | 0,86602540 | ||
छाया लयो गजो नीलो | chāya layō gajō nīlō | 0.89687275 | 0.89687274 | ||
निर्मलो नास्ति सत्कुले | nirmalō nāsti satkulē | 0.92387954 | 0.92387953 | ||
रात्रौ दर्पणमभ्राङ्गं | rātrou darpaṇamabhrāṅgaṁ | 0,94693016 | 0,94693013 | ||
नागस्तुङ्ग नखो बली | nāgastuṅga nakhō balī | 0,96592581 | 0,96592583 | ||
धीरो युवा कथालोलः | dhīrō yuvā kathālōlaḥ | 0,98078527 | 0,98078528 | ||
पूज्यो नारीजनैर्भगः | pūjyō nārījanairbhagaḥ | 0,99144487 | 0,99144486 | ||
कन्यागारे नागवल्ली | kanyāgārē nāgavallī | 0,99785895 | 0,99785892 | ||
देवो विश्वस्थली भृगुः | devō viśvasthalī bhr̥ guḥ | 0,99999997 | 1.00000000 |
Método de cálculo de Madhava
No ha sobrevivido ningún trabajo de Madhava que detalle los métodos utilizados por él para el cálculo de la tabla de senos. Sin embargo, a partir de los escritos de matemáticos posteriores de Kerala como Nilakantha Somayaji ( Tantrasangraha ) y Jyeshtadeva ( Yuktibhāṣā ) que dan amplias referencias a los logros de Madhava, se conjetura que Madhava calculó su tabla de senos utilizando la expansión de la serie de potencias de sen x .
Ver también
- Serie Madhava
- Tabla de senos de Āryabhaṭa
- Tabla de acordes de Ptolomeo
Referencias
- ^ El Aryabhatiam de Aryabhattacharya con el Bhashya de Nilakantha Somasutvan, Part1-Gaṇitapāda, Editado por K. Sambasiva Sastri, Trivandrum Sánscrito Serie No 101. pag. 55. https://ia601902.us.archive.org/28/items/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS/TSS-101_Aryabhatiya_With_the_Commentary_of_Nilakanta_Somasutvan_Part_1_-_KS_Sastri_1930.pdf http://www.sanskritebooks.org/2013-satrivarivada -granthavali /
- ^ a b C.K. Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios de Civilizaciones. págs. 114-123.
- ^ CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios de Civilizaciones. pag. 120.
- ^ CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios de Civilizaciones. pag. 119.
- ^ Puthumana Somayaji . Karanapaddhati (con un comentario en malayalam de PK Koru) . Cherpu , Kerala , India : Astro Printing and Publishing Company. (Publicado en 1953)
Otras referencias
- Bag, AK (1976). "Serie de seno y coseno de Madhava" (PDF) . Revista India de Historia de la Ciencia . Academia Nacional de Ciencias de la India. 11 (1): 54–57. Archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2015 . Consultado el 21 de agosto de 2016 .
- Para una descripción del cálculo de Madhava de la tabla de senos, ver: Van Brummelen, Glen (2009). Las matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 113–120. ISBN 978-0-691-12973-0.
- Para una discusión exhaustiva del cálculo de la tabla de senos de Madhava con referencias históricas: CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Historia de la filosofía, la ciencia y la cultura en la civilización india. X Parte 4. Delhi: Centro de Estudios de Civilizaciones. págs. 114-123.