Madhava de Sangamagrama

Madhava de Sangamagrama
ഇരിഞ്ഞാറ്റപ്പിള്ളി മാധവൻ നമ്പൂതിരി
Nació	C.  1340 [1] [2] [3] (o c.  1350 [4] ) Reino de Cochin
Fallecido	C.  1425
Nacionalidad	indio
Ocupación	Astrónomo - matemático
Conocido por	Descubrimiento de series de potencias Expansiones de trigonométricas seno , coseno y el arco tangente funciones serie infinita fórmulas de adición para π
Trabajo notable	Golavāda , Madhyāmanayanaprakāra , Veṇvāroha , Sphuṭacandrāpti
Título	Golavid (maestro de las esferas)

Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri conocido como Mādhava de Sangamagrāma ( c.  1340  - c.  1425 ) fue un matemático y astrónomo indio de la ciudad que se cree que es la actual Aloor , Irinjalakuda en el distrito de Thrissur , Kerala , India. Se le considera el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . Madhava, uno de los más grandes matemáticos-astrónomos de la Edad Media , hizo contribuciones pioneras al estudio de series infinitas , cálculo , trigonometría ,geometría y álgebra . Fue el primero en utilizar aproximaciones de series infinitas para una gama de funciones trigonométricas, lo que ha sido llamado el "paso decisivo hacia adelante desde los procedimientos finitos de las matemáticas antiguas para tratar su límite: el paso al infinito ". ^[1]

Algunos eruditos también han sugerido que el trabajo de Madhava, a través de los escritos de la escuela de Kerala, fue transmitido a Europa ^{[5] a} través de misioneros y comerciantes jesuitas que estaban activos en el antiguo puerto de Muziris en ese momento. Como resultado, puede haber influido en los desarrollos europeos posteriores en el análisis y el cálculo. ^[6]

Historiografía

Aunque hay alguna evidencia de trabajo matemático en Kerala antes de Madhava ( por ejemplo , Sadratnamala ^{[ ¿cuál? ]} C. 1300, un conjunto de resultados fragmentarios ^[7] ), se desprende de las citas que Madhava proporcionó el impulso creativo para el desarrollo de una rica tradición matemática en la Kerala medieval. Sin embargo, a excepción de un par, la mayoría de las obras originales de Madhava se han perdido. Él se hace referencia en el trabajo de posteriores matemáticos Kerala, en particular en Nilakantha Somayaji 's Tantrasangraha (c. 1500), como la fuente para varias expansiones serie infinita, incluyendo pecado θ y arctan θ . El texto del siglo XVIMahajyānayana prakāra (Método de cálculo de grandes senos) cita a Madhava como la fuente de varias derivaciones en serie para π. En Yuktibhāṣā de Jyeṣṭhadeva (c. 1530), ^[8] escrito en malayalam , estas series se presentan con pruebas en términos de las expansiones de la serie de Taylor para polinomios como 1 / (1+ x ² ), con x = tan  θ , etc. .

Por lo tanto, lo que es explícitamente el trabajo de Madhava es una fuente de debate. El Yukti-dipika (también llamado Tantrasangraha-vyakhya ), posiblemente compuesto por Sankara Variyar , un estudiante de Jyeṣṭhadeva, presenta varias versiones de las expansiones de la serie para sin θ , cos θ y arctan θ , así como algunos productos con radio y arclength, la mayoría de sus versiones aparecen en Yuktibhāṣā. Para aquellos que no lo hacen, Rajagopal y Rangachari han argumentado, citando extensamente del sánscrito original, ^[1] que dado que algunos de estos han sido atribuidos por Nilakantha a Madhava, algunas de las otras formas también podrían ser obra de Madhava.

Otros han especulado que el primer texto Karanapaddhati (c. 1375-1475), o el Mahajyānayana prakāra fue escrito por Madhava, pero esto es poco probable. ^[3]

Karanapaddhati , junto con la aún más temprano Keralite matemática texto Sadratnamala , así como la Tantrasangraha y Yuktibhāṣā , se consideraron en un artículo 1834 por Charles Mateo Whish , que fue el primero en llamar la atención sobre su prioridad sobre Newton en el descubrimiento de la fluxión (nombre de Newton para diferenciales). ^[7] A mediados del siglo XX, el erudito ruso Jushkevich revisó el legado de Madhava, ^[9] y Sarma proporcionó una mirada completa a la escuela de Kerala en 1972. ^[10]

Linaje

Explicación de la regla del seno en Yuktibhāṣā

Hay varios astrónomos conocidos que precedieron a Madhava, incluidos Kǖţalur Kizhār (siglo II), ^[11] Vararuci (siglo IV) y Sankaranarayana (866 dC). Es posible que le precedieran otras figuras desconocidas. Sin embargo, tenemos un registro más claro de la tradición después de Madhava. Parameshvara fue un discípulo directo. Según un manuscrito de hoja de palma de un comentario malayalam sobre el Surya Siddhanta , el hijo de Parameswara, Damodara (c. 1400-1500) tenía a Nilakantha Somayaji como uno de sus discípulos. Jyeshtadeva fue discípulo de Nilakantha. Se menciona a Achyuta Pisharati de Trikkantiyur como discípulo de Jyeṣṭhadeva, y al gramático Melpathur Narayana Bhattathiri.como su discípulo. ^[8]

Contribuciones

Si consideramos las matemáticas como una progresión de procesos finitos de álgebra a consideraciones del infinito, entonces los primeros pasos hacia esta transición suelen venir con expansiones en series infinitas. Es esta transición a la serie infinita la que se atribuye a Madhava. En Europa, la primera serie de este tipo fue desarrollada por James Gregory en 1667. El trabajo de Madhava es notable por la serie, pero lo verdaderamente notable es su estimación de un término de error (o término de corrección). ^[12] Esto implica que entendió muy bien la naturaleza límite de la serie infinita. Por lo tanto, Madhava puede haber inventado las ideas subyacentes a las expansiones de funciones en series infinitas, series de potencias , series trigonométricas.y aproximaciones racionales de series infinitas. ^[13]

Sin embargo, como se indicó anteriormente, es difícil determinar qué resultados son precisamente los de Madhava y cuáles son los de sus sucesores. A continuación se presenta un resumen de los resultados que varios estudiosos han atribuido a Madhava.

Serie infinita

Artículo principal: serie Madhava

Entre sus muchas contribuciones, descubrió series infinitas para las funciones trigonométricas de seno , coseno , arcotangente y muchos métodos para calcular la circunferencia de un círculo . Una de las series de Madhava se conoce por el texto Yuktibhāṣā , que contiene la derivación y la prueba de la serie de potencias para la tangente inversa , descubierta por Madhava. ^[14] En el texto, Jyeṣṭhadeva describe la serie de la siguiente manera:

El primer término es el producto del seno y el radio dados del arco deseado dividido por el coseno del arco. Los términos siguientes se obtienen mediante un proceso de iteración cuando el primer término se multiplica repetidamente por el cuadrado del seno y se divide por el cuadrado del coseno. Luego, todos los términos se dividen por los números impares 1, 3, 5, .... El arco se obtiene sumando y restando respectivamente los términos de rango impar y los de rango par. Se establece que el seno del arco o el de su complemento, cualquiera que sea el menor, debe tomarse aquí como el seno dado. De lo contrario, los términos obtenidos por esta iteración anterior no tenderán a la magnitud de desaparición. ^[15]

Esto produce:

${\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }$

o equivalente:

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Esta serie es la serie de Gregory (llamada así por James Gregory , quien la redescubrió tres siglos después de Madhava). Incluso si consideramos esta serie en particular como obra de Jyeṣṭhadeva , sería anterior a Gregory en un siglo, y ciertamente Madhava había elaborado otras series infinitas de naturaleza similar. Hoy en día, se conoce como la serie Madhava-Gregory-Leibniz. ^{[15] [16]}

Trigonometría

Madhava compuso una tabla precisa de senos . Marcando un cuarto de círculo a veinticuatro intervalos iguales, dio las longitudes de la media cuerda (senos) correspondientes a cada uno de ellos. Se cree que pudo haber calculado estos valores basándose en las expansiones de la serie: ^[4]

pecado q = q - q ³ /3! + Q ⁵ /5! - q ⁷ /7! + ...

cos q = 1 - q ² /2! + Q ⁴ /4! - q ⁶ /6! + ...

El valor de π (pi)

El trabajo de Madhava sobre el valor de la constante matemática Pi se cita en el Mahajyānayana prakāra ("Métodos para los grandes senos"). ^{[ cita requerida ]} Si bien algunos eruditos como Sarma ^[8] creen que este libro puede haber sido compuesto por el mismo Madhava, es más probable que sea obra de un sucesor del siglo XVI. ^[4] Este texto atribuye la mayoría de las expansiones a Madhava, y da la siguiente expansión en serie infinita de π , ahora conocida como la serie Madhava-Leibniz : ^{[17] [18]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}$

que obtuvo de la expansión en serie de potencias de la función arco-tangente. Sin embargo, lo más impresionante es que también dio un término de corrección R _n para el error después de calcular la suma hasta n términos, ^{[4] a} saber:

R _n = (−1) ⁿ / (4 n ), o

R _n = (−1) ⁿ ⋅ n / (4 n ² + 1), o

R _n = (-1) ⁿ ⋅ ( n ² + 1) / (4 n ³ + 5 n ),

donde la tercera corrección conduce a cálculos de π altamente precisos.

Durante mucho tiempo se ha especulado sobre cómo Madhava encontró estos términos de corrección. ^[19] Son los primeros tres convergentes de una fracción continua finita, que, cuando se combina con la serie de Madhava original evaluada en n términos, produce alrededor de 3 n / 2 dígitos correctos:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.}$

El valor absoluto del término de corrección en el siguiente orden superior es

| R _n | = (4 norte ³ + 13 norte ) / (16 norte ⁴ + 56 norte ² + 9).

También dio una serie de convergencia más rápida al transformar la serie infinita original de π, obteniendo la serie infinita

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}$

Al usar los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π, obtiene un valor correcto con 11 decimales (3,14159265359). ^[20] El valor de 3,1415926535898, correcto a 13 decimales, a veces se atribuye a Madhava, ^[21] pero puede deberse a uno de sus seguidores. Estas fueron las aproximaciones más precisas de π dadas desde el siglo V (ver Historia de aproximaciones numéricas de π ).

El texto Sadratnamala parece dar el valor asombrosamente preciso de π = 3.14159265358979324 (correcto hasta 17 lugares decimales). Con base en esto, R. Gupta ha sugerido que este texto también fue compuesto por Madhava. ^{[3] [20]}

Madhava también llevó a cabo investigaciones sobre otras series para longitudes de arco y las aproximaciones asociadas a fracciones racionales de π, encontró métodos de expansión polinomial , descubrió pruebas de convergencia de series infinitas y el análisis de fracciones continuas infinitas . ^[3] También descubrió las soluciones de ecuaciones trascendentales por iteración y encontró la aproximación de números trascendentales por fracciones continuas. ^[3]

Cálculo

Madhava sentó las bases para el desarrollo del cálculo , que fueron desarrolladas por sus sucesores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . ^{[13] [22]} (Ciertas ideas de cálculo eran conocidas por los matemáticos anteriores .) Madhava también amplió algunos resultados encontrados en trabajos anteriores, incluidos los de Bhāskara II . Sin embargo, es incierto si alguna de estas ideas se transmitió a Occidente, donde el cálculo fue desarrollado de forma independiente por Isaac Newton y Leibniz .

Obras de Madhava

K. V. Sarma ha identificado a Madhava como el autor de las siguientes obras: ^{[23] [24]}

1. Golavada
2. Madhyamanayanaprakara
3. Mahajyanayanaprakara (método de computación de grandes senos)
4. Lagnaprakarana ( लग्नप्रकरण )
5. Venvaroha ( वेण्वारोह ) ^[25]
6. Sphutacandrapti ( स्फुटचन्द्राप्ति )
7. Aganita-grahacara ( अगणित-ग्रहचार )
8. Chandravakyani ( चन्द्रवाक्यानि ) (Tabla de nemotécnicos lunares)

Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala

Artículo principal: escuela de astronomía y matemáticas de Kerala

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala floreció durante al menos dos siglos después de Madhava. En Jyeṣṭhadeva encontramos la noción de integración, denominada sankalitam , (lit. colección), como en la declaración:

ekadyekothara pada sankalitam samam padavargathinte pakuti , ^[16]

que se traduce como la integral de una variable ( pada ) es igual a la mitad de esa variable al cuadrado ( varga ); es decir, la integral de x dx es igual ax ² / 2. Esto es claramente un comienzo para el proceso de cálculo integral . Un resultado relacionado establece que el área bajo una curva es su integral . La mayoría de estos resultados son anteriores a resultados similares en Europa en varios siglos. En muchos sentidos, el Yuktibhāṣā de Jyeshthadeva puede considerarse el primer texto de cálculo del mundo . ^{[7] [13] [22]}

El grupo también hizo muchos otros trabajos en astronomía; de hecho, se desarrollan muchas más páginas para cálculos astronómicos que para discutir los resultados relacionados con el análisis. ^[8]

La escuela de Kerala también contribuyó mucho a la lingüística (la relación entre el lenguaje y las matemáticas es una antigua tradición india, ver Katyayana ). Las tradiciones ayurvédicas y poéticas de Kerala también se remontan a esta escuela. El famoso poema, Narayaneeyam , fue compuesto por Narayana Bhattathiri .

Influencia

Madhava ha sido llamado "el mayor matemático-astrónomo de la India medieval", ^[3] o como "el fundador del análisis matemático; algunos de sus descubrimientos en este campo muestran que poseía una intuición extraordinaria". ^[26] O'Connor y Robertson afirman que una evaluación justa de Madhava es que dio el paso decisivo hacia el análisis clásico moderno. ^[4]

Posible propagación a Europa

La escuela de Kerala fue muy conocida en los siglos XV y XVI, en el período del primer contacto con los navegantes europeos en la costa de Malabar . En ese momento, el puerto de Muziris , cerca de Sangamagrama , era un importante centro para el comercio marítimo, y varios misioneros y comerciantes jesuitas estaban activos en esta región. Dada la fama de la escuela de Kerala y el interés mostrado por algunos de los grupos jesuitas durante este período en la erudición local, algunos académicos, incluido G. Joseph de la U. Manchester, han sugerido ^[27] que los escritos de la escuela de Kerala pueden también se han transmitido a Europa en esta época, que todavía era aproximadamente un siglo antes de Newton. ^[6]

Ver también

• Tabla de seno de Madhava
• Serie Madhava
• Venvaroha
• Ganita-yukti-bhasa
• Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala
• Lista de matemáticos indios
• Matemáticas indias
• Historia del cálculo

Referencias

1. C. T. Rajagopal y MS Rangachari (junio de 1978). "Sobre una fuente sin explotar de las matemáticas medievales de Keralese". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 18 (2): 89-102. doi : 10.1007 / BF00348142 (inactivo el 10 de enero de 2021).
2. Roy, Ranjan (1990). "El descubrimiento de la fórmula de la serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha" (PDF) . Revista de Matemáticas . 63 (5): 291-306. doi : 10.2307 / 2690896 . JSTOR 2690896 . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012 . Consultado el 24 de septiembre de 2012 .  
3. Ian G. Pearce (2002). Madhava de Sangamagramma . Archivo MacTutor History of Mathematics . Universidad de St Andrews .
4. J. J. O'Connor y EF Robertson (2000). "Madhava de Sangamagramma" . Archivo MacTutor History of Mathematics . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews , Escocia. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006 . Consultado el 8 de septiembre de 2007 .
5. CK Raju (2007). Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la demostración matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE . Delhi: Pearson Longman.
6. D F Almeida, JK John y A Zadorozhnyy (2001). "Matemáticas keralese: su posible transmisión a Europa y las consecuentes implicaciones educativas". Revista de geometría natural . 20 (1): 77-104.
7. Charles Whish (1834). "Sobre la cuadratura hindú del círculo y la serie infinita de la proporción de la circunferencia al diámetro exhibida en los cuatro Sastras, el Tantra Sahgraham, Yucti Bhasha, Carana Padhati y Sadratnamala" . Transacciones de la Royal Asiatic Society de Gran Bretaña e Irlanda . Real Sociedad Asiática de Gran Bretaña e Irlanda . 3 (3): 509–523. doi : 10.1017 / S0950473700001221 . JSTOR 25581775 . 
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9. AP Jushkevich (1961).Geschichte der Mathematik im Mittelalter (traducción al alemán, Leipzig, 1964, del original ruso, Moscú, 1961) . Moscú.
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21. El valor exacto de 13 dígitos de π, 3.1415926535898, se puede alcanzar usando la expansión en serie infinita de π / 4 (la primera secuencia) subiendo hasta n = 76.
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26. Joseph, George Gheverghese (octubre de 2010) [1991]. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-13526-7.
27. "Los indios precedieron al 'descubrimiento' de Newton en 250 años" . comunicado de prensa de la Universidad de Manchester. 13 de agosto de 2007. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2008 . Consultado el 5 de septiembre de 2007 .

Enlaces externos

• Biografía en MacTutor: [1]
• Una breve biografía de Madhava: [2]