En las matemáticas , un álgebra Malcev (o Maltsev álgebra o Moufang - Lie álgebra ) sobre un campo es un álgebra no asociativa que es antisimétrica, de manera que
y satisface la identidad de Malcev
Fueron definidos por primera vez por Anatoly Maltsev (1955).
Las álgebras de Malcev juegan un papel en la teoría de los bucles de Moufang que generaliza el papel de las álgebras de Lie en la teoría de grupos . Es decir, así como el espacio tangente del elemento de identidad de un grupo de Lie forma un álgebra de Lie, el espacio tangente de la identidad de un bucle suave de Moufang forma un álgebra de Malcev. Además, así como un grupo de Lie puede recuperarse de su álgebra de Lie bajo ciertas condiciones suplementarias, un bucle suave de Moufang puede recuperarse de su álgebra de Malcev si se cumplen ciertas condiciones suplementarias. Por ejemplo, esto es cierto para un bucle de Moufang analítico real conectado y simplemente conectado. [1]
Ejemplos de
- Cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Malcev.
- Cualquier álgebra alternativa se puede convertir en un álgebra de Malcev definiendo el producto de Malcev como xy - yx .
- A la 7-esfera se le puede dar la estructura de un bucle suave de Moufang identificándola con los octoniones unitarios . El espacio tangente de la identidad de este bucle de Moufang puede identificarse con el espacio de 7 dimensiones de octoniones imaginarios. Los octoniones imaginarios forman un álgebra de Malcev con el producto de Malcev xy - yx .
Ver también
Notas
- ^ Nagy, Peter T. (1992). "Bucles de Moufang y álgebras de Malcev" (PDF) . Seminario Sophus Lie . 3 : 65–68. CiteSeerX 10.1.1.231.8888 .
Referencias
- Elduque, Alberto; Myung, Hyo C. (1994), Mutaciones de álgebras alternativas , Kluwer, ISBN 0-7923-2735-7
- Filippov, VT (2001) [1994], "Álgebra de Mal'tsev" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Mal'cev, AI (1955), "Bucles analíticos", Mat. Sb. , New Series (en ruso), 36 (78): 569–576, MR 0069190