Cálculo de Malliavin
En la teoría de la probabilidad y campos relacionados, el cálculo de Malliavin es un conjunto de técnicas e ideas matemáticas que amplían el campo matemático del cálculo de variaciones desde funciones deterministas hasta procesos estocásticos . En particular, permite el cálculo de derivadas de variables aleatorias . El cálculo de Malliavin también se denomina cálculo estocástico de variaciones . P. Malliavin inició por primera vez el cálculo en el espacio de dimensión infinita. Luego, los contribuyentes importantes como S. Kusuoka, D. Stroock, Bismut, S. Watanabe, I. Shigekawa, etc. finalmente completaron los cimientos.
El cálculo de Malliavin lleva el nombre de Paul Malliavin, cuyas ideas llevaron a una prueba de que la condición de Hörmander implica la existencia y suavidad de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La demostración original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . El cálculo también se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .
El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular la sensibilidad de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones en, por ejemplo, filtrado estocástico .
Malliavin introdujo el cálculo de Malliavin para proporcionar una prueba estocástica de que la condición de Hörmander implica la existencia de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La demostración original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Su cálculo permitió a Malliavin probar los límites de regularidad para la densidad de la solución. El cálculo se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .
El principio de invariancia habitual para la integración de Lebesgue sobre toda la línea real es que, para cualquier número real ε y función integrable f , se cumple lo siguiente
Se puede aplicar una idea similar en el análisis estocástico para la diferenciación a lo largo de una dirección Cameron-Martin-Girsanov. De hecho, sea un proceso predecible integrable en cuadrado y establezca
