En matemáticas , un álgebra de Lie es reductiva si su representación adjunta es completamente reducible , de ahí el nombre. Más concretamente, un álgebra de Lie es reductiva si es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana : hay caracterizaciones alternativas, que se dan a continuación.
Ejemplos de
El ejemplo más básico es el álgebra de Lie. de matrices con el conmutador como corchete de Lie, o más abstractamente como el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial n- dimensional ,Este es el álgebra de Lie del grupo lineal general GL ( n ), y es reductivo ya que se descompone comocorrespondiente a matrices sin trazas y matrices escalares .
Cualquier álgebra de Lie semisimple o álgebra de Lie abeliana es reductiva a fortiori .
Sobre los números reales, las álgebras de Lie compactas son reductivas.
Definiciones
Un álgebra de mentira sobre un campo de característica 0 se llama reductivo si se satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- La representación adjunta (la acción entre paréntesis) dees completamente reducible (una suma directa de representaciones irreductibles).
- admite una representación fiel, completamente reducible y de dimensión finita.
- El radical de es igual al centro:
- El radical siempre contiene el centro, pero no es necesario que lo iguale.
- es la suma directa de un ideal semisimple y su centro
- Compare con la descomposición de Levi , que descompone un álgebra de Lie como su radical (que es resoluble, no abeliano en general) y una subálgebra de Levi (que es semisimple).
- es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de mentira abeliana :
- es una suma directa de ideales primos:
Algunas de estas equivalencias se ven fácilmente. Por ejemplo, el centro y radical de es mientras que si el radical es igual al centro, la descomposición de Levi produce una descomposición Además, álgebras de Lie simples y álgebra de Lie trivial unidimensional son ideales primordiales.
Propiedades
Las álgebras de Lie reductivas son una generalización de las álgebras de Lie semisimple y comparten muchas propiedades con ellas: muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimple dependen únicamente del hecho de que son reductivas. En particular, el truco unitario de Hermann Weyl funciona para las álgebras reductivas de Lie.
Los grupos de Lie reductivos asociados son de gran interés: el programa Langlands se basa en la premisa de que lo que se hace para un grupo de Lie reductivo debe hacerse para todos. [ aclaración necesaria ]
La intersección de las álgebras de Lie reductivas y las álgebras de Lie solubles es exactamente álgebras de Lie abelianas (el contraste con la intersección de las álgebras de Lie semisimples y solubles es trivial).
enlaces externos
- Álgebra de mentira, reductiva , AL Onishchik, en Encyclopaedia of Mathematics, ISBN 1-4020-0609-8 , SpringerLink