En topología algebraica, la fibración del espacio de la trayectoria sobre un espacio basado [1] es una fibración de la forma
dónde
- , equipado con la topología compacta-abierta , es el espacio llamado espacio de ruta de X ,
- es la fibra de sobre el punto base de X ; Por lo tanto, es el espacio de bucle de X .
El espacio consta de todos los mapas de I a X que pueden no conservar los puntos base; se llama espacio de trayectoria libre de X y la fibración dado por, digamos, , se denomina fibración del espacio de trayectoria libre .
Se puede entender que la fibración del espacio de trayectoria es dual con el cono de mapeo . La fibración reducida se denomina fibra de mapeo o, de manera equivalente, fibra de homotopía .
Mapeo del espacio de la ruta
Si es cualquier mapa, entonces el espacio de la ruta de mapeo de es el retroceso de la fibración a lo largo de . Dado que una fibración retrocede a una fibración, si Y está basado, uno tiene la fibración
dónde y es la fibra homotopía , el retroceso de la fibración a lo largo de .
Tenga en cuenta también es la composicion
donde el primer mapa envía x a; aquí denota la ruta constante con valor . Claramente,es una equivalencia de homotopía; por tanto, la descomposición anterior dice que cualquier mapa es una fibración hasta la equivalencia de homotopía.
Si es una fibración para empezar, luego el mapa es una equivalencia fibra-homotopía y, en consecuencia, [2] las fibras de sobre el componente de trayectoria del punto base son homotopía equivalente a la fibra de homotopía de .
Espacio del camino de Moore
Por definición, un camino en un espacio X es un mapa de la unidad de intervalo I a X . Nuevamente por definición, el producto de dos caminos tal que es el camino dada por:
- .
Este producto, en general, no es asociativo en nariz: , como se ve directamente. Una solución a este fracaso es pasar a clases de homotopía: uno tiene. Otra solución es trabajar con trayectorias de longitudes arbitrarias, lo que lleva a las nociones de espacio de trayectoria de Moore y de fibración del espacio de trayectoria de Moore, que se describen a continuación. [3] (Una solución más sofisticada es repensar la composición: trabajar con una familia arbitraria de composiciones; ver la introducción del artículo de Lurie, [4] que conduce a la noción de una operada ).
Dado un espacio basado , dejamos
Un elemento f de este conjunto tiene una extensión única al intervalo tal que . Por tanto, el conjunto puede identificarse como un subespacio de. El espacio resultante se denomina espacio de trayectoria de Moore de X , en honor a John Coleman Moore , quien introdujo el concepto. Luego, al igual que antes, hay una fibración, la fibración del espacio de trayectoria de Moore :
donde p envía cada f : [0, r ] → X a f ( r ) yes la fibra. Resulta que y son homotopía equivalente.
Ahora, definimos el mapa de productos:
por para y ,
- .
Este producto es manifiestamente asociativo. En particular, con μ restringido a Ω ' X × Ω ' X , tenemos que Ω ' X es un monoide topológico (en la categoría de todos los espacios). Además, este monoide Ω ' X actúa sobre P ' X a través del μ original . De echo,es una Ω ' X -fibración . [5]
Notas
- ^ A lo largo del artículo, los espacios son objetos de la categoría de espacios "razonables"; por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta.
- ^ usando el cambio de fibra
- ^ Whitehead 1979 , cap. III, § 2.
- ^ Lurie, Jacob (30 de octubre de 2009). "Geometría algebraica derivada VI: E [k] -Álgebras" (PDF) .
- ^ Let G = Ω ' X y P = P ' X . Que G conserva las fibras está claro. Para ver, para cada γ en P , el mapa es una equivalencia débil, podemos usar el siguiente lema:
Lema - Let p : D → B , q : E → B sea fibraciones más de un espacio sin base B , f : D → E un mapa sobre B . Si B está conectado a una ruta, los siguientes son equivalentes:
- f es una equivalencia débil.
- es una equivalencia débil durante algún b en B .
- es una equivalencia débil para cada b en B .
Aplicamos el lema con donde α es un camino en P e I → X es t → el punto final de α ( t ). Desdesi γ es la ruta constante, la afirmación se deriva del lema. (En pocas palabras, el lema se deriva de la secuencia larga de homotopía exacta y del lema de los cinco).
Referencias
- Davis, James F .; Kirk, Paul (2001). Notas de clase en topología algebraica (PDF) . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 35 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. xvi + 367. doi : 10.1090 / gsm / 035 . ISBN 0-8218-2160-1. Señor 1841974 .
- Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Chicago, IL: University of Chicago Press . págs. x + 243. ISBN 0-226-51182-0. Señor 1702278 .
- Whitehead, George W. (1978). Elementos de la teoría de la homotopía . Textos de Posgrado en Matemáticas . 61 (3ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . págs. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Señor 0516508 .