En matemáticas , especialmente en la teoría de la homotopía , el cono de mapeo es una construcciónde topología , análoga a un espacio cociente . También se le llama cofibra homotopia, y también se anota. Su doble, una fibración , se llama fibra cartográfica . El cono de mapeo puede entenderse como un cilindro de mapeo. , con un extremo del cilindro colapsado en un punto. Por lo tanto, los conos de mapeo se aplican con frecuencia en la teoría de homotopía de espacios puntiagudos .
Definición
Dado un mapa , el cono de mapeo se define como el espacio del cociente del cilindro de mapeo con respecto a la relación de equivalencia , . Aquídenota el intervalo unitario [0, 1] con su topología estándar . Tenga en cuenta que algunos autores (como J. Peter May ) utilizan la convención opuesta, cambiando 0 y 1.
Visualmente, uno toma el cono en X (el cilindrocon un extremo (el extremo 0) identificado en un punto), y pega el otro extremo en Y a través del mapa f (la identificación del extremo 1).
Aproximadamente, uno está tomando el espacio del cociente por la imagen de X , entonces; esto no es precisamente correcto debido a cuestiones de conjuntos de puntos, pero es la filosofía, y se hace preciso por resultados tales como la homología de un par y la noción de un mapa n- conectado .
Lo anterior es la definición de un mapa de espacios sin puntos; para un mapa de espacios puntiagudos (entonces ), uno también identifica todos los ; formalmente, Así, un extremo y la "costura" se identifican con
Ejemplo de círculo
Si es el circulo , el cono de mapeo se puede considerar como el espacio cociente de la unión disjunta de Y con el disco formado identificando cada punto x en el límite de al punto en Y .
Considere, por ejemplo, el caso donde Y es el disco, y es la inclusión estándar del círculo como el límite de . Entonces el cono de mapeoes homeomorfo a dos discos unidos en su límite, que es topológicamente la esfera .
Cilindro de mapeo doble
El cono de mapeo es un caso especial del cilindro de mapeo doble . Esto es básicamente un cilindro unido por un extremo a un espacio a través de un mapa
y unido por el otro extremo a un espacio a través de un mapa
El cono de mapeo es el caso degenerado del cilindro de mapeo doble (también conocido como expulsión de homotopía), en el que uno de es un solo punto.
Construcción dual: la fibra cartográfica
El doble del cono de mapeo es la fibra de mapeo . Dado el mapa puntiagudouno define la fibra de mapeo como [1]
- .
Aquí, I es el intervalo unitario yes un camino continuo en el espacio (el objeto exponencial ). La fibra de mapeo a veces se denota como; sin embargo, esto entra en conflicto con la misma notación para el cilindro de mapeo.
Es dual con el cono de mapeo en el sentido de que el producto de arriba es esencialmente el producto con fibra o el retroceso que es dual para el pushout utilizado para construir el cono de mapeo. [2] En este caso particular, la dualidad es esencialmente la del curado , ya que el cono de mapeo tiene la forma de curry dónde es simplemente una notación alternativa para el espacio de todos los mapas continuos desde el intervalo unitario hasta . Las dos variantes están relacionadas por un funtor adjunto . Observe que el curry conserva el carácter reducido de los mapas: en un caso, hasta la punta del cono, y en el otro caso, caminos hacia el punto base.
Aplicaciones
Complejos CW
Adjuntar una celda
Efecto sobre el grupo fundamental
Dado un espacio X y un buclerepresentando un elemento del grupo fundamental de X , podemos formar el cono de mapeo. El efecto de esto es hacer que el bucle contráctil en, y por lo tanto la clase de equivalencia de en el grupo fundamental de será simplemente el elemento de identidad .
Dada una presentación grupal por generadores y relaciones, se obtiene un complejo 2 con ese grupo fundamental.
Homología de un par
El cono de mapeo permite interpretar la homología de un par como la homología reducida del cociente. Es decir, si E es una teoría de homología , yes una cofibración , entonces
- ,
Relación con las equivalencias de homotopía (homología)
Un mapa entre complejos CW simplemente conectados es una equivalencia de homotopía si y solo si su cono de mapeo es contráctil.
De manera más general, un mapa se llama n- conectado (como un mapa) si su cono de mapeo está n -conectado (como un espacio), y un poco más. [3] [ página necesaria ]
Dejar ser una teoría de homología fija . El mapainduce isomorfismos en, si y solo si el mapa induce un isomorfismo en , es decir, .
Los conos de mapeo se utilizan para construir las secuencias Puppe coexactas largas , a partir de las cuales se pueden obtener secuencias largas y exactas de homotopía y grupos de homotopía relativa. [1]
Ver también
- Cofibración
- Cono de mapeo (álgebra homológica)
Referencias
- ↑ a b Rotman, Joseph J. (1988). Introducción a la topología algebraica . Consulte el Capítulo 11 para obtener una prueba: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96678-1.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ a b Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Consulte el Capítulo 6. ISBN 0-226-51183-9.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ * Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401.