En matemáticas , un operado se ocupa de álgebras prototípicas que modelan propiedades tales como conmutatividad o anticomutatividad , así como diversas cantidades de asociatividad . Las óperas generalizan las diversas propiedades de asociatividad ya observadas en álgebras y coalgebras como las álgebras de Lie o las álgebras de Poisson modelando árboles computacionales dentro del álgebra. Las álgebras son para las operadas como las representaciones de grupo para los grupos . Una operad puede verse como un conjunto de operaciones, cada uno con un número finito fijo de entradas (argumentos) y una salida, que se pueden componer una con otras. Forman un análogo de teoría de categorías del álgebra universal . [ dudoso ]
Historia
Las óperas se originan en la topología algebraica del estudio de espacios de bucle iterado por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt , [1] [2] y J. Peter May . [3] La palabra "operad" fue creada por May como un acrónimo de "operaciones" y " mónada " (y también porque su madre era cantante de ópera). [4] El interés por las operadas se renovó considerablemente a principios de los 90 cuando, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la dualidad de operadas Koszul . [5] [6] Desde entonces, los operads han encontrado muchas aplicaciones, como en la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson , la conjetura de Deligne , [7] o la homología de grafos en el trabajo de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .
Definición
Operado no simétrico
Un operad no simétrica (a veces llamado un operad sin permutaciones , o una noo simple ) consta de lo siguiente:
- una secuencia de conjuntos, cuyos elementos se denominan -operaciones generales ,
- un elemento en llamado la identidad ,
- para todos los enteros positivos , , una función de composición
satisfaciendo los siguientes axiomas de coherencia:
- identidad :
- asociatividad :
(el número de argumentos corresponde a las aridades de las operaciones).
Operado simétrico
Un operad simétrico (a menudo simplemente llamado operad ) es un operad no simétricocomo arriba, junto con una acción correcta del grupo simétrico en , satisfaciendo los axiomas asociativos e identitarios anteriores, así como
- equivariancia : permutaciones dadas,
(donde por abuso de notación , en el lado derecho de la primera relación de equivariancia está el elemento de que actúa en el plató rompiéndolo en bloques, el primero de tamaño , el segundo de tamaño , a través de a bloque de tamaño , y luego permuta estos bloques por ).
Las acciones de permutación en esta definición son vitales para la mayoría de las aplicaciones, incluida la aplicación original para espacios de bucle.
Morfismos
Un morfismo de operadas consta de una secuencia
que:
- conserva la identidad:
- conserva la composición: para cada n -operación y operaciones ,
- conserva las acciones de permutación: .
Por tanto, las óperas forman una categoría denotada por.
En otras categorias
Hasta ahora, las operadas solo se han considerado en la categoría de conjuntos. De hecho, es posible definir operados en cualquier categoría monoidal simétrica (o, para operados no simétricos, cualquier categoría monoidal ).
Un ejemplo común estaría dado por la categoría de espacios topológicos , con el producto monoidal dado por el producto cartesiano . En este caso, un operado topológico viene dado por una secuencia de espacios (en lugar de conjuntos). Los mapas de estructura de los operados (la composición y las acciones de los grupos simétricos) deben suponerse entonces que son continuos. El resultado se denomina operado topológico . De manera similar, en la definición de un morfismo, sería necesario asumir que los mapas involucrados son continuos.
Otras configuraciones comunes para definir operadas incluyen, por ejemplo, módulo sobre un anillo , complejos de cadenas , agrupaciones (o incluso la propia categoría de categorías), coalgebras , etc.
Definición algebraísta
Por definición, un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R es un objeto monoide en la categoría monoidalde módulos de más de R . Esta definición se puede ampliar para dar una definición de un operado: es decir, un operado sobre R es un objeto monoideen la categoría monoidal de endofunctores en(es una mónada ) que satisface alguna condición de finitud. [nota 1]
Por ejemplo, un objeto monoide en la categoría de functores polinomiales es un operado. [7] De manera similar, un operad simétrico se puede definir como un objeto monoide en la categoría de S {\ Displaystyle \ mathbb {S}} -objetos . [8] Un objeto monoide en la categoría de especies combinatorias es un operado en conjuntos finitos.
Un operado en el sentido anterior a veces se considera un anillo generalizado . Por ejemplo, Nikolai Durov define su anillo generalizado como un objeto monoide en la categoría monoidal de endofuctores que conmuta con colimit filtrado. [9] Es una generalización de un anillo ya que cada anillo ordinario R define una mónadaque envía un conjunto X al módulo R gratuito R ( X ) {\ Displaystyle R ^ {(X)}} generada por X .
Entendiendo los axiomas
Axioma de asociatividad
"Asociatividad" significa que la composición de las operaciones es asociativa (la función es asociativo), análogo al axioma en la teoría de categorías que ; sí no significa que las operaciones mismos son asociativos como operaciones. Compare con el operad asociativo , a continuación.
La asociatividad en la teoría operada significa que se pueden escribir expresiones que involucran operaciones sin ambigüedad de las composiciones omitidas, al igual que la asociatividad para operaciones permite que los productos se escriban sin ambigüedad de los paréntesis omitidos.
Por ejemplo, si es una operación binaria, que se escribe como o . Así que eso puede ser asociativo o no.
Entonces lo que se escribe comúnmente está escrito inequívocamente de forma operacional como . Esto envía a (solicitar en los dos primeros, y la identidad en el tercero), y luego el a la izquierda "multiplica" por . Esto es más claro cuando se representa como un árbol:
que produce una operación tripartita:
Sin embargo, la expresin es a priori ambiguo: podría significar, si las composiciones internas se realizan primero, o podría significar , si las composiciones externas se realizan primero (las operaciones se leen de derecha a izquierda). Escritura, esto es versus . Es decir, al árbol le faltan "paréntesis verticales":
Si las dos filas superiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia arriba en el línea; hace la composición interna primero), los siguientes resultados:
que luego evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria. Como expresión anotada:
Si las dos filas inferiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia abajo en el línea; hace la composición exterior primero), siguiendo los resultados:
que luego evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria:
El axioma operado de asociatividad es que estos producen el mismo resultado y, por lo tanto, la expresión es inequívoco.
Axioma de identidad
El axioma de identidad (para una operación binaria) se puede visualizar en un árbol como:
lo que significa que las tres operaciones obtenidas son iguales: pre o postcomponer con la identidad no hace ninguna diferencia. En cuanto a categorías, es un corolario del axioma de identidad.
Ejemplos de
Endomorfismo operado
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k . Entonces el endomorfismo operó de V consta de [10]
- = el espacio de mapas lineales ,
- (composición) ,
- (identidad)
- (acción de grupo simétrico)
Si es otro operad, cada morfismo operad se llama álgebra operada (observe que esto es análogo al hecho de que cada estructura de módulo R en un grupo abeliano M equivale a un homomorfismo de anillo.)
Dependiendo de las aplicaciones, son posibles variaciones de lo anterior: por ejemplo, en topología algebraica, en lugar de espacios vectoriales y productos tensoriales entre ellos, se utilizan espacios topológicos (razonables) y productos cartesianos entre ellos.
Operads de "algo pequeño"
Unos pequeños discos operados o bolitas operadas o, más específicamente, los pequeños n-discos operados es un operado topológico definido en términos de configuraciones de discos n- dimensionales disjuntos dentro de una unidad n- disco centrada en el origen de R n . La composición operativa para pequeños 2 discos se ilustra en la figura. [11] [ aclaración necesaria ]
Originalmente, los pequeños n-cubos operados o los pequeños intervalos operados (inicialmente llamados pequeños n- cubos PROP ) fueron definidos por Michael Boardman y Rainer Vogt de una manera similar, en términos de configuraciones de hipercubos n- dimensionales alineados con ejes disjuntos (n- intervalos dimensionales ) dentro del hipercubo de la unidad . [12] Posteriormente se generalizó en mayo [13] a pequeños cuerpos convexos operados , y "pequeños discos" es un caso de "folklore" derivado de los "pequeños cuerpos convexos". [14]
Operado con queso suizo
El operad de queso suizo es un operad topológico de dos colores definido en términos de configuraciones de discos n- dimensionales disjuntos dentro de una unidad n- semidisco y semidiscos n -dimensionales, centrados en la base del semidisco y ubicados dentro del semidisco de la unidad. La composición operativa proviene de pegar configuraciones de "pequeños" discos dentro del disco unitario en los "pequeños" discos en otra unidad semidisco y configuraciones de "pequeños" discos y semidiscos dentro de la unidad semidisco en la otra unidad semidisco.
La operación de queso suizo fue definida por Alexander A. Voronov . [15] Fue utilizado por Maxim Kontsevich para formular una versión de queso suizo de la conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild. [16] La conjetura de Kontsevich fue probada en parte por Po Hu , Igor Kriz y Alexander A. Voronov [17] y luego completamente por Justin Thomas . [18]
Operado asociativo
Otra clase de ejemplos de operadas son las que capturan las estructuras de estructuras algebraicas, como álgebras asociativas, álgebras conmutativas y álgebras de Lie. Cada uno de estos se puede exhibir como un operad presentado finitamente, en cada uno de estos tres generados por operaciones binarias.
Por lo tanto, la operación asociativa es generada por una operación binaria. , sujeto a la condición de que
Esta condición hace corresponden a la asociatividad de la operación binaria; escritura multiplicativamente, la condición anterior es . Esta asociatividad de la operación no debe confundirse con asociatividad de composición ; ver el axioma de asociatividad , arriba.
Esta operada es terminal en la categoría de operadas no simétricas, ya que tiene exactamente una operación n -aria para cada n, correspondiente al producto inequívoco de n términos:. Por esta razón, los teóricos de la categoría a veces lo escriben como 1 (por analogía con el conjunto de un punto, que es terminal en la categoría de conjuntos).
Terminal simétrico operado
El terminal simétrico operado es el operado cuyas álgebras son monoides conmutativos, que también tiene una n -operación para cada n , con cadaactuando trivialmente; esta trivialidad corresponde a la conmutatividad, y cuya n -operación es el producto inequívoco de n- términos, donde el orden no importa:
para cualquier permutación .
Operadas de los grupos simétrico y trenzado
Hay un operad para el cual cada viene dado por el grupo simétrico . El compuesto permuta sus entradas en bloques de acuerdo con , y dentro de los bloques de acuerdo con el . Del mismo modo, hay un operado para lo cual cada es dado por el grupo de trenzas Artin . Además, esta no operad tiene la estructura de un operad trenzado, que generaliza la noción de un operad de simétrico a grupos trenzados.
Álgebra lineal
En álgebra lineal , los espacios vectoriales pueden considerarse álgebras sobre los operados(la suma directa infinita , por lo que solo un número finito de términos son distintos de cero; esto corresponde a tomar solo sumas finitas), que parametriza combinaciones lineales : el vector por ejemplo corresponde a la combinación lineal
De manera similar, combinaciones afines , combinaciones cónicas , y combinaciones convexas puede considerarse que corresponden a las sub-operads donde los términos de suma de 1, los términos son todos no negativo, o ambos, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiper-octante infinito y el simplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende porel ser o el simplex estándar son espacios modelo, y observaciones como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un simplex. Aquí los suboperads corresponden a operaciones más restringidas y, por tanto, a teorías más generales.
Este punto de vista formaliza la noción de que las combinaciones lineales son el tipo más general de operación en un espacio vectorial; decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre las combinaciones lineales operadas es precisamente la afirmación de que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales. Las operaciones básicas de suma vectorial y multiplicación escalar son un conjunto generador para el funcionamiento de todas las combinaciones lineales, mientras que las combinaciones lineales operadas codifican canónicamente todas las operaciones posibles en un espacio vectorial.
Operado por anillo conmutativo
El operado de anillo conmutativo es un operado cuyas álgebras son anillos conmutativos (quizás sobre algún campo base). El Koszul-dual de ella es la Mentira operada y viceversa.
Construye
Las construcciones algebraicas típicas (por ejemplo, construcción de álgebra libre) se pueden extender a operados. Sea C una categoría de módulo utilizada en la definición de un operado; por ejemplo, puede ser la categoría de-módulos para operados simétricos.
Operado libre
Ahí está el functor olvidadizo . El functor operad librese define como un adjunto izquierdo al functor olvidadizo (esta es la definición habitual de functor libre ). Como un grupo o un anillo, la construcción libre permite expresar un operado en términos de generadores y relaciones. Por una representación libre de un operado, nos referimos a escribir como cociente de un operad libre generado por un módulo E : entonces E es el generador de y el núcleo de es la relación.
A (simétrico) operado se llama cuadrática si tiene una presentación libre tal que es el generador y la relación está contenida en . [19]
Operadas en la teoría de la homotopía
En Stasheff (2004) [ se necesita una cita completa ] , Stasheff escribe:
- Las óperas son particularmente importantes y útiles en categorías con una buena noción de "homotopía", donde juegan un papel clave en la organización de jerarquías de homotopías superiores.
Ver también
- PRO (teoría de categorías)
- Álgebra sobre un operad
- Operado de orden superior
- E∞-operado
- Pseudoálgebra
- Multicategoría
Notas
- ^ ”Finitud” se refiere al hecho de que solo se permite un número finito de entradas en la definición de un operado. Por ejemplo, la condición se satisface si se puede escribir
- ,
- .
Citas
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enlaces externos
- https://ncatlab.org/nlab/show/operad
- https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html