Degeneración (matemáticas)
En matemáticas , un caso degenerado es un caso límite de una clase de objetos que parece ser cualitativamente diferente (y generalmente más simple que) del resto de la clase, [1] y el término degeneración es la condición de ser un caso degenerado. [2]
Las definiciones de muchas clases de objetos compuestos o estructurados a menudo incluyen implícitamente desigualdades. Por ejemplo, se supone que los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo son positivos. Los casos límite, donde una o varias de estas desigualdades se convierten en igualdades, son las degeneraciones. En el caso de los triángulos, uno tiene un triángulo degenerado si al menos la longitud de un lado o el ángulo es cero. De manera equivalente, se convierte en un "segmento de línea". [3]
A menudo, los casos degenerados son casos excepcionales en los que se producen cambios en la dimensión habitual o en la cardinalidad del objeto (o de alguna parte de él). Por ejemplo, un triángulo es un objeto de dimensión dos, y un triángulo degenerado está contenido en una línea , [3] que hace que su dimensión sea uno. Esto es similar al caso de un círculo, cuya dimensión se reduce de dos a cero a medida que degenera en un punto. [1] Como otro ejemplo, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones que depende de parámetrosgeneralmente tiene una cardinalidad y una dimensión fijas, pero la cardinalidad y/o la dimensión pueden ser diferentes para algunos valores excepcionales, llamados casos degenerados. En tal caso degenerado, se dice que el conjunto solución es degenerado.
Para algunas clases de objetos compuestos, los casos degenerados dependen de las propiedades que se estudian específicamente. En particular, la clase de objetos a menudo se puede definir o caracterizar mediante sistemas de ecuaciones. En la mayoría de los escenarios, una clase determinada de objetos puede definirse mediante varios sistemas de ecuaciones diferentes, y estos sistemas de ecuaciones diferentes pueden dar lugar a diferentes casos degenerados, al tiempo que caracterizan los mismos casos no degenerados. Esta puede ser la razón por la cual no existe una definición general de degeneración, a pesar de que el concepto es ampliamente utilizado y definido (si es necesario) en cada situación específica.
Por lo tanto, un caso degenerado tiene características especiales que lo hacen no genérico . Sin embargo, no todos los casos no genéricos son degenerados. Por ejemplo, los triángulos rectángulos , los triángulos isósceles y los triángulos equiláteros no son genéricos ni degenerados. De hecho, los casos degenerados suelen corresponder a singularidades , ya sea en el objeto o en algún espacio de configuración . Por ejemplo, una sección cónica es degenerada si y solo si tiene puntos singulares (p. ej., punto, línea, líneas que se cruzan [4] ).
Una cónica degenerada es una sección cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no llega a ser una curva irreducible .
