En geometría algebraica , un conjunto algebraico irreducible o variedad irreducible es un conjunto algebraico que no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios . Un componente irreducible es un subconjunto algebraico que es irreducible y máximo (para la inclusión de conjuntos ) para esta propiedad. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación xy = 0 no es irreducible, y sus componentes irreducibles son las dos líneas de ecuaciones x = 0 e y = 0 .
Es un teorema fundamental de la geometría algebraica clásica que cada conjunto algebraico puede escribirse de una manera única como una unión finita de componentes irreducibles.
Estos conceptos pueden reformularse en términos puramente topológicos , utilizando la topología de Zariski , para la cual los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos: un espacio topológico es irreducible si no es la unión de dos subconjuntos cerrados propios, y un componente irreducible es un subespacio máximo. (necesariamente cerrado) que es irreductible para la topología inducida . Aunque estos conceptos se pueden considerar para cada espacio topológico, esto rara vez se hace fuera de la geometría algebraica, ya que los espacios topológicos más comunes son los espacios de Hausdorff y, en un espacio de Hausdorff, los componentes irreducibles son los singletons .
En topología
Un espacio topológico X es reducible si se puede escribir como una uniónde dos subconjuntos propios cerrados, de Un espacio topológico es irreducible (o hiperconectado ) si no es reducible. De manera equivalente, todos los subconjuntos abiertos no vacíos de X son densos o cualesquiera dos conjuntos abiertos no vacíos tienen una intersección no vacía .
Un subconjunto F de un espacio topológico X se llama irreducible o reducible, si F considerado como un espacio topológico a través de la topología del subespacio tiene la propiedad correspondiente en el sentido anterior. Es decir, es reducible si se puede escribir como una unión dónde son subconjuntos cerrados de , ninguno de los cuales contiene
Un componente irreducible de un espacio topológico es un subconjunto irreducible máximo . Si un subconjunto es irreductible, su cierre también es irreducible, por lo que los componentes irreducibles están cerrados.
Cada subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en un (no necesariamente único) componente irreducible de X . [1] Cada punto de X está contenido en algún componente irreducible de X .
En geometría algebraica
Todo conjunto algebraico afín o proyectivo se define como el conjunto de ceros de un ideal en un anillo polinomial . En este caso, los componentes irreductibles son las variedades asociadas a los primos mínimos sobre los ideales. Esta es la identificación que permite probar la unicidad y la finitud de la descomposición. Esta descomposición está fuertemente relacionada con la descomposición primaria del ideal.
En la teoría de esquemas general , todo esquema es la unión de sus componentes irreductibles, pero el número de componentes no es necesariamente finito. Sin embargo, en la mayoría de los casos que ocurren en la "práctica", es decir, para todos los esquemas noetherianos , hay un número finito de componentes irreducibles.
Ejemplos de
En un espacio de Hausdorff , los subconjuntos irreducibles y los componentes irreducibles son los singleton . Este es el caso, en particular, de los números reales . De hecho, si X es un conjunto de números reales que no es un singleton, hay tres números reales tales que x ∈ X , y ∈ X y x < a < y . El conjunto X no puede ser irreductible ya que
La noción de componente irreducible es fundamental en geometría algebraica y rara vez se considera fuera de esta área de las matemáticas: considere el subconjunto algebraico del plano
- X = {( x , y ) | xy = 0} .
Para la topología de Zariski , sus subconjuntos cerrados son él mismo, el conjunto vacío, los singletons y las dos líneas definidas por x = 0 e y = 0 . Por tanto, el conjunto X es reducible con estas dos líneas como componentes irreductibles.
El espectro de un anillo conmutativo es el conjunto de los ideales primos del anillo, dotado de la topología de Zariski , para el cual se cierra un conjunto de ideales primos si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo . En este caso, un subconjunto irreductible es el conjunto de todos los ideales principales que contienen un ideal principal.
Notas
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