En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 22 es un grupo de orden simple esporádico
- 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 443520
- ≈ 4 × 10 5 .
Historia y propiedades
M 22 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ). Es un grupo de permutación transitiva triple en 22 objetos. El multiplicador de Schur de M 22 es cíclico de orden 12, y el grupo de automorfismo externo tiene orden 2.
Hay varias afirmaciones incorrectas sobre las dos partes del multiplicador de Schur en la literatura matemática. Burgoyne y Fong (1966) afirmaron incorrectamente que el multiplicador de Schur de M 22 tiene orden 3, y en una corrección Burgoyne y Fong (1968) afirmaron incorrectamente que tiene orden 6. Esto provocó un error en el título del artículo Janko (1976 ) anunciando el descubrimiento del grupo Janko J4 . Mazet (1979) mostró que el multiplicador de Schur es de hecho cíclico de orden 12.
Adem y Milgram (1995) calcularon las 2 partes de toda la cohomología de M 22 .
Representaciones
M 22 tiene una representación de permutación 3-transitiva en 22 puntos, con estabilizador de punto el grupo PSL 3 (4), a veces llamado M 21 . Esta acción fija un sistema Steiner S (3,6,22) con 77 hexágonos, cuyo grupo de automorfismo completo es el grupo de automorfismo M 22 .2 de M 22 .
M 22 tiene tres representaciones de permutación de rango 3 : una en las 77 hexágonos con estabilizador de puntos 2 4 : A 6 , y dos acciones de rango 3 en 176 heptadas que se conjugan bajo un automorfismo externo y tienen estabilizador de puntos A 7 .
M 22 es el estabilizador de puntos de la acción de M 23 en 23 puntos, y también el estabilizador de puntos de la acción de rango 3 del grupo Higman-Sims en 100 = 1 + 22 + 77 puntos.
La triple cubierta 3.M 22 tiene una representación fiel de 6 dimensiones sobre el campo con 4 elementos.
La cubierta de 6 pliegues de M 22 aparece en el centralizador 2 1 + 12 .3. (M 22 : 2) de una involución del grupo Janko J4 .
Subgrupos máximos
No hay subgrupos transitivos adecuados en los 22 puntos. Hay 8 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 22 de la siguiente manera:
- PSL (3,4) o M 21 , pedido 20160: estabilizador de un punto
- 2 4 : A 6 , orden 5760, órbitas de 6 y 16
- Estabilizador del bloque W 22
- A 7 , orden 2520, órbitas de 7 y 15
- Hay 2 conjuntos, de 15 cada uno, de subgrupos simples de orden 168. Los de un tipo tienen órbitas de 1, 7 y 14; los otros tienen órbitas de 7, 8 y 7.
- A 7 , órbitas de 7 y 15
- Conjugado al tipo anterior en M 22 : 2.
- 2 4 : S 5 , orden 1920, órbitas de 2 y 20 (5 bloques de 4)
- Un estabilizador de 2 puntos en el grupo del sexteto
- 2 3 : PSL (3,2), orden 1344, órbitas 8 y 14
- M 10 , orden 720, órbitas de 10 y 12 (2 bloques de 6)
- Un estabilizador de un punto de M 11 (punto en órbita de 11)
- Una extensión de grupo no dividido del formulario A 6 .2
- PSL (2,11), pedido 660, órbitas 11 y 11
- Otro estabilizador de un punto de M 11 (punto en órbita de 12)
Clases conjugadas
Hay 12 clases de conjugación, aunque las dos clases de elementos de orden 11 se fusionan bajo un automorfismo externo.
Pedido | No elementos | Estructura del ciclo | |
---|---|---|---|
1 = 1 | 1 | 1 22 | |
2 = 2 | 1155 = 3 · 5 · 7 · 11 | 1 6 2 8 | |
3 = 3 | 12320 = 2 5 · 5 · 7 · 11 | 1 4 3 6 | |
4 = 2 2 | 13860 = 2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 1 2 2 2 4 4 | |
27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 1 2 2 2 4 4 | ||
5 = 5 | 88704 = 2 7 · 3 2 · 7 · 11 | 1 2 5 4 | |
6 = 2 · 3 | 36960 = 2 5 · 3 · 5 · 7 · 11 | 2 2 3 2 6 2 | |
7 = 7 | 63360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 11 | 1 7 3 | Equivalente de potencia |
63360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 11 | 1 7 3 | ||
8 = 2 3 | 55440 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 2 · 4 · 8 2 | |
11 = 11 | 40320 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 | 11 2 | Equivalente de potencia |
40320 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 | 11 2 |
Ver también
Referencias
- Adem, Alejandro ; Milgram, R. James (1995), "La cohomología del grupo Mathieu M₂₂", Topología , 34 (2): 389–410, doi : 10.1016 / 0040-9383 (94) 00029-K , ISSN 0040-9383 , MR 1318884
- Burgoyne, N .; Fong, Paul (1966), "Los multiplicadores de Schur de los grupos de Mathieu" , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 / S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , MR 0197542
- Burgoyne, N .; Fong, Paul (1968), "Una corrección a:" Los multiplicadores de Schur de los grupos de Mathieu " " , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017 / S0027763000012782 , ISSN 0027-7630 , MR 0219626
- Cameron, Peter J. (1999), Grupos de permutación , Textos de estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres, 45 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
- Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Introducción a la teoría de grupos de orden finito , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, MR 0075938
- Conway, John Horton (1971), "Tres conferencias sobre grupos excepcionales" , en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969., Boston, MA: Academic Press , págs. 215-247, ISBN 978-0-12-563850-0, MR 0338152Reimpreso en Conway & Sloane (1999 , 267-298)
- Conway, John Horton ; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas de grupos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Cuypers, Hans, los grupos de Mathieu y sus geometrías (PDF)
- Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Grupos de permutación , Textos de posgrado en matemáticas, 163 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812
- Griess, Robert L. Jr. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, MR 1707296
- Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), "Grupos finitos que tienen un componente estándar L de tipo M₁₂ o M₂₂", Journal of Algebra , 319 (2): 621–628, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2006.09.034 , ISSN 0021- 8693 , MR 2381799
- Janko, Z. (1976). "Un nuevo grupo simple finito de orden 86,775,570,046,077,562,880 que posee M 24 y el grupo de cobertura completo de M 22 como subgrupos" . J. Álgebra . 42 : 564–596. doi : 10.1016 / 0021-8693 (76) 90115-0 .(El título de este artículo es incorrecto, ya que más tarde se descubrió que el grupo de cobertura completo de M 22 era más grande: centro de orden 12, no 6.)
- Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
- Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01[ enlace muerto permanente ]
- Mazet, Pierre (1979), "Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M₂₂", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 289 (14): A659 – A661, ISSN 0151-0509 , MR 0560327
- Thompson, Thomas M. (1983), De códigos de corrección de errores a través de empaquetaduras de esferas a grupos simples , Carus Mathematical Monographs, 21 , Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-023-7, MR 0749038
- Witt, Ernst (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 265-275, doi : 10.1007 / BF02948948 , ISSN 0025-5858
- Witt, Ernst (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 12 : 256-264, doi : 10.1007 / BF02948947
enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M 22