En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 23 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960
- ≈ 1 × 10 7 .
Historia y propiedades
M 23 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ). Es un grupo de permutación transitiva cuádruple en 23 objetos. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo son triviales .
Milgram (2000) calculó la cohomología integral y mostró en particular que M 23 tiene la propiedad inusual de que los primeros 4 grupos de homología integral desaparecen.
El problema inverso de Galois parece no estar resuelto para M 23 . En otras palabras, no parece que se sepa que ningún polinomio en Z [x] tenga M 23 como su grupo de Galois. El problema de Galois inverso se resuelve para todos los demás grupos simples esporádicos.
Construcción usando campos finitos
Sea F 2 11 el campo finito con 2 11 elementos. Su grupo de unidades tiene orden 2 11 - 1 = 2047 = 23 · 89, por lo que tiene un subgrupo cíclico C de orden 23.
El grupo Mathieu M 23 se puede identificar con el grupo de F 2 -linear automorfismos de F 2 11 que estabilizan C . Más precisamente, la acción de este grupo de automorfismo en C se puede identificar con la acción transitiva cuádruple de M 23 en 23 objetos.
Representaciones
M 23 es el estabilizador de puntos de la acción del grupo Mathieu M24 en 24 puntos, lo que le da una representación de 4 permutación transitiva en 23 puntos con estabilizador de puntos del grupo Mathieu M22 .
M 23 tiene 2 acciones de rango 3 diferentes en 253 puntos. Una es la acción sobre pares desordenados con tamaños de órbita 1 + 42 + 210 y estabilizador de punto M 21 .2, y la otra es la acción sobre heptadas con tamaños de órbita 1 + 112 + 140 y estabilizador de punto 2 4 .A 7 .
La representación integral correspondiente a la acción de permutación en 23 puntos se descompone en la representación trivial y una representación de 22 dimensiones. La representación de 22 dimensiones es irreductible sobre cualquier campo de característica que no sea 2 o 23.
Sobre el campo de orden 2, tiene 2 representaciones de 11 dimensiones, las restricciones de las representaciones correspondientes del grupo de Mathieu M24 .
Subgrupos máximos
Hay 7 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 23 como sigue:
- M 22 , pedido 443520
- PSL (3,4): 2, pedido 40320, órbitas 21 y 2
- 2 4 : A 7 , orden 40320, órbitas de 7 y 16
- Estabilizador del bloque W 23
- A 8 , orden 20160, órbitas de 8 y 15
- M 11 , orden 7920, órbitas 11 y 12
- (2 4 : A 5 ): S 3 o M 20 : S 3 , orden 5760, órbitas de 3 y 20 (5 bloques de 4)
- Estabilizador de un punto del grupo sexteto
- 23:11, orden 253, simplemente transitivo
Clases conjugadas
Pedido | No elementos | Estructura del ciclo | |
---|---|---|---|
1 = 1 | 1 | 1 23 | |
2 = 2 | 3795 = 3 · 5 · 11 · 23 | 1 7 2 8 | |
3 = 3 | 56672 = 2 5 · 7 · 11 · 23 | 1 5 3 6 | |
4 = 2 2 | 318780 = 2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 3 2 2 4 4 | |
5 = 5 | 680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 1 3 5 4 | |
6 = 2 · 3 | 850080 = 2 5 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 · 2 2 3 2 6 2 | |
7 = 7 | 728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 1 2 7 3 | equivalente de potencia |
728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 1 2 7 3 | ||
8 = 2 3 | 1275120 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 · 2 · 4 · 8 2 | |
11 = 11 | 927360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 23 | 1 · 11 2 | equivalente de potencia |
927360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 23 | 1 · 11 2 | ||
14 = 2 · 7 | 728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 2 · 7 · 14 | equivalente de potencia |
728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 2 · 7 · 14 | ||
15 = 3 · 5 | 680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 3 · 5 · 15 | equivalente de potencia |
680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 3 · 5 · 15 | ||
23 = 23 | 443520 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 23 | equivalente de potencia |
443520 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 23 |
Referencias
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enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M 23