Grupo esporádico de McLaughlin
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo McLaughlin McL es un grupo simple esporádico de orden
McL es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Jack McLaughlin ( 1969 ) como un subgrupo de índice 2 de un grupo de permutación de rango 3 que actúa sobre el gráfico de McLaughlin con 275 = 1 + 112 + 162 vértices. Se fija un triángulo 2-2-3 en la celosía Leech y por lo tanto es un subgrupo de los grupos Conway , y . Su multiplicador de Schur tiene orden 3 y su grupo de automorfismo exterior tiene orden 2. El grupo 3.McL: 2 es un subgrupo máximo del grupo de Lyons .
McL tiene una clase de conjugación de involución (elemento de orden 2), cuyo centralizador es un subgrupo máximo de tipo 2.A 8 . Tiene un centro de orden 2; el cociente módulo el centro es isomorfo al grupo alterno A 8 .
McL tiene 2 clases de subgrupos máximos isomorfos al grupo Mathieu M 22 . Un automorfismo externo intercambia las dos clases de grupos M 22 . Este automorfismo externo se realiza en McL incrustado como un subgrupo de Co 3 .
Una representación conveniente de M 22 está en matrices de permutación en las últimas 22 coordenadas; fija un triángulo 2-2-3 con vértices el origen y el tipo 2 puntos x = (−3, 1 23 ) e y = (−4, -4,0 22 ) '. La arista del triángulo x - y = (1, 5, 1 22 ) es de tipo 3 ; está fijado por un Co 3 . Esta M 22 es el monomio , y un máximo , subgrupo de una representación de McL.
Wilson (2009) (p. 207) muestra que el subgrupo McL está bien definido. En la celosía Leech , suponga que un punto v de tipo 3 está fijado por una instancia de . Cuente los puntos de tipo 2 w de manera que el producto interno v · w = 3 (y por lo tanto v - w sea de tipo 2). Muestra que su número es 552 = 2 3 ⋅3⋅23 y que este Co 3 es transitivo en estos w .