En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo Ly de Lyons o el grupo Lyons-Sims LyS es un grupo simple esporádico de orden
- 2 8 · 3 7 · 5 6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67
- = 51765179004000000
- ≈ 5 × 10 16 .
Historia
Ly es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Richard Lyons y Charles Sims en 1972-73. Lyons caracterizó 51765179004000000 como el único orden posible de cualquier grupo simple finito donde el centralizador de alguna involución es isomorfo a la extensión central no trivial del grupo alterno A 11 de grado 11 por el grupo cíclico C 2 . Sims (1973) demostró la existencia de tal grupo y su singularidad hasta el isomorfismo con una combinación de teoría de grupos de permutación y cálculos mecánicos.
Cuando se descubrió el grupo esporádico de McLaughlin , se notó que un centralizador de una de sus involuciones era la doble tapa perfecta del grupo alterno A 8 . Esto sugirió considerar las cubiertas dobles de los otros grupos alternos A n como posibles centralizadores de involuciones en grupos simples. Los casos n ≤ 7 están descartados por el teorema de Brauer-Suzuki , el caso n = 8 conduce al grupo de McLaughlin, el caso n = 9 fue descartado por Zvonimir Janko , el propio Lyons descartó el caso n = 10 y encontró el Lyons para n = 11, mientras que los casos n ≥ 12 fueron descartados por JG Thompson y Ronald Solomon .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo son triviales .
Dado que 37 y 67 no son números primos supersingulares , el grupo de Lyons no puede ser un subcociente del grupo de monstruos . Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .
Representaciones
Meyer, Neutsch & Parker (1985) demostraron que el grupo de Lyons tiene una representación modular de dimensión 111 sobre el campo de cinco elementos, que es la dimensión más pequeña de cualquier representación lineal fiel y es una de las formas más fáciles de calcular con ella. También ha sido dada por varias presentaciones complicadas en términos de generadores y relaciones, por ejemplo las dadas por Sims (1973) o Gebhardt (2000) .
La representación de permutación fiel más pequeña es una representación de permutación de rango 5 en 8835156 puntos con estabilizador G 2 (5). También hay una representación de permutación de rango 5 ligeramente mayor en 9606125 puntos con estabilizador 3.McL: 2.
Subgrupos máximos
Wilson (1985) encontró las 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de Ly como sigue:
- G 2 (5)
- 3.McL: 2
- 5 3 .PSL 3 (5)
- 2.A 11
- 5 1 + 4 : 4.S 6
- 3 5 : (2 × M 11 )
- 3 2 + 4 : 2.A 5 .D 8
- 67:22
- 37:18
Referencias
- Richard Lyons (1972, 5) "Evidencia de un nuevo grupo simple finito", Journal of Algebra 20: 540–569 y 34: 188–189.
- Gebhardt, Volker (2000). "Dos breves presentaciones para el grupo simple esporádico de Lyons". Matemáticas experimentales . 9 (3): 333–8. doi : 10.1080 / 10586458.2000.10504410 .
- Meyer, Werner; Neutsch, Wolfram; Parker, Richard (1985), "La representación mínima de 5 del grupo esporádico de Lyons", Mathematische Annalen , 272 (1): 29–39, doi : 10.1007 / BF01455926 , ISSN 0025-5831 , MR 0794089
- Sims, Charles C. (1973), "La existencia y singularidad del grupo de Lyons", Grupos finitos '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972) , North-Holland Math. Studies, 7 , Amsterdam: North-Holland, págs. 138-141, MR 0354881
- Wilson, Robert A. (1985), "The maximal subgroups of the Lyons group", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 433–436, doi : 10.1017 / S0305004100063003 , ISSN 0305-0041 , MR 0778677
enlaces externos
- MathWorld: grupo de Lyons
- Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo de Lyons