En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Conway son los tres grupos simples esporádicos Co 1 , Co 2 y Co 3 junto con el grupo finito relacionado Co 0 introducido por ( Conway 1968 , 1969 ).
El mayor de los grupos de Conway, Co 0 , es el grupo de automorfismos de la red Leech Λ con respecto a la adición y al producto interno . Tiene orden
- 8.315.553.613.086.720.000
pero no es un grupo simple. El grupo simple Co 1 de orden
- 4.157.776.806.543.360.000
se define como el cociente de Co 0 por su centro , que consta de las matrices escalares ± 1.
El producto interno de la red Leech se define como 1/8 de la suma de los productos de las respectivas coordenadas de los dos vectores multiplicando; es un entero. La norma cuadrada de un vector es su producto interno consigo mismo, siempre un número entero par. Es común hablar del tipo de vector de celosía Leech: la mitad de la norma cuadrada. Los subgrupos a menudo se nombran en referencia a los tipos de puntos fijos relevantes. Esta celosía no tiene vectores de tipo 1.
Los grupos Co 2 (de orden42.305.421.312.000 ) y Co 3 (de orden495,766,656,000 ) consisten en los automorfismos de Λ que fijan un vector reticular de tipo 2 y un vector de tipo 3 respectivamente. Como el escalar -1 no fija ningún vector distinto de cero, estos dos grupos son isomorfos a los subgrupos de Co 1 .
Historia
Thomas Thompson ( 1983 ) relata cómo, aproximadamente en 1964, John Leech investigó empaquetamientos cerrados de esferas en espacios euclidianos de gran dimensión. Uno de los descubrimientos de Leech fue un empaque de celosía en 24 espacios, basado en lo que llegó a llamarse la celosía Leech Λ. Se preguntó si el grupo de simetría de su celosía contenía un grupo simple e interesante, pero sintió que necesitaba la ayuda de alguien más familiarizado con la teoría de grupos. Tuvo que hacer muchas preguntas porque los matemáticos estaban preocupados con sus propias agendas. John Conway accedió a analizar el problema. John G. Thompson dijo que estaría interesado si se le diera el orden del grupo. Conway esperaba dedicar meses o años al problema, pero encontró resultados en solo unas pocas sesiones.
Witt (1998 , página 329) declaró que encontró la celosía Leech en 1940 e insinuó que calculó el orden de su grupo de automorfismo Co 0 .
Subgrupo monomial N de Co 0
Conway comenzó su investigación de Co 0 con un subgrupo que llamó N , un holomorfo del código binario Golay (extendido) (como matrices diagonales con 1 o -1 como elementos diagonales) por el grupo de Mathieu M 24 (como matrices de permutación ). N = 2 12 : M 24 .
Una representación estándar , utilizada a lo largo de este artículo, del código binario Golay ordena las 24 coordenadas de modo que 6 bloques consecutivos (tétradas) de 4 constituyen un sexteto .
Las matrices de Co 0 son ortogonales ; es decir, dejan invariante el producto interno. La inversa es la transposición . Co 0 no tiene matrices de determinante -1.
La celosía Leech puede ser fácilmente define como el Z - módulo generado por el conjunto Λ 2 de todos los vectores de tipo 2, que consiste en
- (4, 4, 0 22 )
- (2 8 , 0 16 )
- (−3, 1 23 )
y sus imágenes bajo N . Λ 2 debajo de N cae en 3 órbitas de tamaños1.104 ,97,152 , y98.304 .Luego | Λ 2 | =196.560 = 2 4 ⋅3 3 ⋅5⋅7⋅13 . Conway sospechaba fuertemente que Co 0 era transitivo en Λ 2 , y de hecho encontró una nueva matriz, no monomial y no entera.
Sea η la matriz de 4 por 4
Ahora sea ζ una suma en bloque de 6 matrices: números impares cada uno de η y - η . [1] [2] ζ es una matriz simétrica y ortogonal, por lo tanto, una involución . Algunos programas de experimentación que intercambia vectores entre diferentes órbitas de N .
Calcular | Co 0 | es mejor considerar Λ 4 , el conjunto de vectores de tipo 4. Cualquier vector de tipo 4 es uno de exactamente 48 vectores de tipo 4 congruentes entre sí módulo 2Λ, cayendo en 24 pares ortogonales { v , - v }. Un conjunto de 48 vectores de este tipo se denomina trama o cruz . N tiene como órbita una trama estándar de 48 vectores de forma (± 8, 0 23 ). El subgrupo fijación de una trama dada es un conjugado de N . El grupo 2 12 , isomorfo al código Golay, actúa como cambios de signo en los vectores del marco, mientras que M 24 permuta los 24 pares del marco. Se puede demostrar que Co 0 es transitivo en Λ 4 . Conway multiplicó el orden 2 12 | M 24 | de N por el número de fotogramas, siendo este último igual al cociente | Λ 4 | / 48 =8.252.375 = 3 6 ⋅5 3 ⋅7⋅13 . Ese producto es el orden de cualquier subgrupo de Co 0 que contenga N correctamente; por tanto, N es un subgrupo máximo de Co 0 y contiene subgrupos 2-Sylow de Co 0 . N también es el subgrupo en Co 0 de todas las matrices con componentes enteros.
Dado que Λ incluye vectores de la forma (± 8, 0 23 ) , Co 0 consta de matrices racionales cuyos denominadores son todos divisores de 8.
La representación no trivial más pequeña de Co 0 sobre cualquier campo es la de 24 dimensiones que proviene de la red Leech, y esta es fiel sobre campos de características distintas de 2.
Involuciones en Co 0
Se puede demostrar que cualquier involución en Co 0 está conjugada con un elemento del código Golay. Co 0 tiene 4 clases de conjugación de involuciones.
Se puede mostrar que una matriz de permutación de forma 2 12 está conjugada con un dodecad . Su centralizador tiene la forma 2 12 : M 12 y tiene conjugados dentro del subgrupo monomial. Cualquier matriz en esta clase de conjugación tiene traza 0.
Puede mostrarse que una matriz de permutación de forma 2 8 1 8 está conjugada a un octado ; tiene traza 8. Este y su negativo (traza −8) tienen un centralizador común de la forma (2 1 + 8 × 2). O 8 + (2) , un subgrupo máximo en Co 0 .
Grupos de sublattice
Conway y Thompson encontraron que cuatro grupos simples esporádicos recientemente descubiertos, descritos en actas de congresos ( Brauer y Sah 1969 ), eran isomorfos a subgrupos o cocientes de subgrupos de Co 0 .
El propio Conway empleó una notación para estabilizadores de puntos y subespacios donde prefijó un punto. Excepcionales fueron .0 y .1 , siendo Co 0 y Co 1 . Para número entero n ≥ 2 let .N denotar el estabilizador de un punto de tipo n (ver arriba) en la red Leech.
Luego, Conway nombró estabilizadores de planos definidos por triángulos que tienen el origen como vértice. Sea .hkl el estabilizador puntual de un triángulo con aristas (diferencias de vértices) de tipos h , k y l . El triángulo se denomina comúnmente triángulo hkl . En los casos más simples, Co 0 es transitivo en los puntos o triángulos en cuestión y los grupos estabilizadores se definen hasta la conjugación.
Conway identificó .322 con el grupo McLaughlin McL (orden898,128,000 ) y .332 con el grupo Higman-Sims HS (orden44,352,000 ); ambos habían sido descubiertos recientemente.
Aquí hay una tabla [3] [4] de algunos grupos de subred:
Nombre | Pedido | Estructura | Vértices de ejemplo |
---|---|---|---|
• 2 | 2 18 3 6 5 3 7 11 23 | Co 2 | (−3, 1 23 ) |
• 3 | 2 10 3 7 5 3 7 11 23 | Co 3 | (5, 1 23 ) |
• 4 | 2 18 3 2 5 7 11 23 | 2 11 : M 23 | (8, 0 23 ) |
• 222 | 2 15 3 6 5 7 11 | Fuente de alimentación 6 (2) ≈ Fi 21 | (4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 ) |
• 322 | 2 7 3 6 5 3 7 11 | McL | (5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 ) |
• 332 | 2 9 3 2 5 3 7 11 | HS | (5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 ) |
• 333 | 2 4 3 7 5 11 | 3 5 M 11 | (5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 ) |
• 422 | 2 17 3 2 5 7 11 | 2 10 : M 22 | (8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 ) |
• 432 | 2 7 3 2 5 7 11 23 | M 23 | (8, 0 23 ), (5, 1 23 ) |
• 433 | 2 10 3 2 5 7 | 2 4 .A 8 | (8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 ) |
• 442 | 2 12 3 2 5 7 | 2 1 + 8 .A 7 | (8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 ) |
• 443 | 2 7 3 2 5 7 | M 21 : 2 ≈ PSL 3 (4): 2 | (8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 ) |
Otros dos grupos esporádicos
Se pueden definir dos subgrupos esporádicos como cocientes de estabilizadores de estructuras en la red Leech. Identificar R 24 con C 12 y Λ con
el grupo de automorfismo resultante (es decir, el grupo de automorfismos de celosía Leech que preservan la estructura compleja ) cuando se divide por el grupo de seis elementos de matrices escalares complejas, da el grupo Suzuki Suz (orden448,345,497,600 ). Este grupo fue descubierto por Michio Suzuki en 1968.
Una construcción similar da al grupo J 2 de Hall-Janko (orden604,800 ) como el cociente del grupo de automorfismos cuaterniónicos de Λ por el grupo ± 1 de escalares.
Los siete grupos simples descritos anteriormente comprenden lo que Robert Griess llama la segunda generación de la Familia Feliz , que consiste en los 20 grupos simples esporádicos que se encuentran dentro del grupo Monster . Varios de los siete grupos contienen al menos algunos de los cinco grupos de Mathieu , que comprenden la primera generación .
Cadena de grupos de productos Suzuki
Co 0 tiene 4 clases de conjugación de elementos de orden 3. En M 24 un elemento de forma 3 8 genera un grupo normal en una copia de S 3 , que conmuta con un subgrupo simple de orden 168. Un producto directo PSL (2,7 ) × S 3 en M 24 permuta las octadas de un trío y permuta 14 matrices diagonales dodecad en el subgrupo monomial. En Co 0, este monomio normalizador 2 4 : PSL (2,7) × S 3 se expande a un subgrupo máximo de la forma 2.A 9 × S 3 , donde 2.A 9 es la doble cobertura del grupo alterno A 9 .
John Thompson señaló que sería provechoso investigar los normalizadores de subgrupos más pequeños de la forma 2.A n ( Conway 1971 , p. 242). De esta forma se encuentran varios otros subgrupos máximos de Co 0 . Además, aparecen dos grupos esporádicos en la cadena resultante.
Existe un subgrupo 2.A 8 × S 4 , el único de esta cadena no máximo en Co 0 . Luego está el subgrupo (2.A 7 × PSL 2 (7)): 2 . Luego viene (2.A 6 × SU 3 (3)): 2 . El grupo unitario SU 3 (3) (orden6.048 ) posee una gráfica de 36 vértices, en previsión del siguiente subgrupo. Ese subgrupo es (2.A 5 o 2.HJ): 2 , en el que hace su aparición el grupo Hall-Janko HJ. El gráfico antes mencionado se expande al gráfico de Hall-Janko , con 100 vértices. Luego viene (2.A 4 o 2.G 2 (4)): 2 , siendo G 2 (4) un grupo excepcional de tipo Lie .
La cadena termina con 6.Suz: 2 (Suz = grupo esporádico de Suzuki ), que, como se mencionó anteriormente, respeta una representación compleja de Leech Lattice.
Moonshine monstruoso generalizado
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la monstruosa luz de la luna no se limita al monstruo. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para los grupos de Conway, la serie relevante de McKay-Thompson es = {1, 0, 276, −2,048 ,11,202 ,−49,152 ,…} ( OEIS : A007246 ) y = {1, 0, 276, 2.048 ,11,202 ,49,152 ,…} ( OEIS : A097340 ) donde se puede establecer el término constante a (0) = 24 ,
y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .
Referencias
- ^ Griess, pág. 97.
- ^ Thomas Thompson, págs. 148-152.
- ^ Conway y Sloane (1999), p. 291
- ^ Griess (1998), p. 126
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