En matemáticas aplicadas, los métodos de residuales ponderados medios (MWR) son métodos para resolver ecuaciones diferenciales . Se supone que las soluciones de estas ecuaciones diferenciales están bien aproximadas por una suma finita de funciones de prueba. En tales casos, el método seleccionado de residuos ponderados se utiliza para encontrar el valor del coeficiente de cada función de prueba correspondiente. Los coeficientes resultantes se hacen para minimizar el error entre la combinación lineal de funciones de prueba y la solución real en una norma elegida.
Notación de esta página
A menudo es muy importante clasificar en primer lugar la notación utilizada antes de presentar cómo se ejecuta este método para evitar confusiones.
- se utilizará para denotar la solución de la ecuación diferencial a la que se está aplicando el método MWR.
- La resolución de la ecuación diferencial mencionada se logrará estableciendo alguna función llamada "función de residuo" a cero.
- Cada método de residuos medios ponderados implica algunas "funciones de prueba" que se denotarán por .
- Los grados de libertad se denotarán por .
- Si la forma asumida de la solución a la ecuación diferencial es lineal (en los grados de libertad) entonces las funciones base utilizadas en dicha forma se denotarán por .
Enunciado matemático del método
El método de residuos medios ponderados resuelve imponiendo que los grados de libertad son tales que:
Está satisfecho. Donde el producto interior es el producto interno de la función estándar con respecto a alguna función de ponderación que se determina generalmente por el conjunto de funciones base o arbitrariamente según la función de ponderación que sea más conveniente. Por ejemplo, cuando el conjunto de bases son solo los polinomios de Chebyshev del primer tipo, la función de ponderación suele serporque los productos internos pueden calcularse más fácilmente utilizando una transformada de Chebyshev .
Además, todos estos métodos tienen en común que hacen cumplir las condiciones de contorno, ya sea haciendo cumplir las funciones de base (en el caso de una combinación lineal) individual, haciendo cumplir las condiciones de contorno en el BVP original (esto solo funciona si las condiciones de contorno son homogéneas, sin embargo, Es posible aplicarlo a problemas con condiciones de contorno no homogéneas dejando y sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial original e imponiendo condiciones de contorno homogéneas a la nueva solución que se busca para encontrar u (x) que es v (x) donde L (x) es una función que satisface las condiciones de contorno impuestas a u que es conocido.), o imponiendo explícitamente el límite quitando n filas a la matriz que representa el problema discretizado donde n se refiere al orden de la ecuación diferencial y sustituyéndolos por otros que representan las condiciones de contorno.
Elección de funciones de prueba
La elección de la función de prueba, como se mencionó anteriormente, depende del método específico utilizado (bajo el título general de métodos residuales ponderados medios). Aquí hay una lista de métodos MWR específicos comúnmente utilizados y sus funciones de prueba correspondientes aproximadamente de acuerdo con su popularidad:
- El método de Galerkin , que usa las funciones de base en sí mismas como funciones de prueba o en el caso más general de una forma asumida no lineal (donde la no linealidad está en los grados de libertad) de la solución, el método de Galerkin usa las funciones de prueba:
- El método pseudoespectral que utiliza las funciones delta de Dirac centradas en un conjunto de puntos x discretos y equivale a establecer la función de residuo en cero en esos puntos x.
- El método de mínimos cuadrados utiliza las funciones de prueba: . Este método tiene el efecto de minimizar el cuadrado de la norma L2 de la función de residuo (es decir) con respecto a los grados de libertad .
- El método de los momentos utiliza el conjunto simple de funciones de prueba. y rara vez se implementa cuando se requieren altos grados de precisión debido a problemas computacionales asociados con la inversión de la matriz de Hilbert .
Referencias
- Introducción a las matemáticas aplicadas, Wellesley-Cambridge Press (1986).