En la teoría de números recreativos , un primo mínimo es un número primo para el que no hay una subsecuencia más corta de sus dígitos en una base dada que forme un primo. En base 10 hay exactamente 26 números primos mínimos:
- 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (secuencia A071062 en la OEIS ).
Por ejemplo, 409 es un número primo mínimo porque no hay primo entre las subsecuencias más cortas de los dígitos: 4, 0, 9, 40, 49, 09. La subsecuencia no tiene que constar de dígitos consecutivos, por lo que 109 no es un número mínimo. primo (porque 19 es primo). Pero tiene que estar en el mismo orden; así, por ejemplo, 991 sigue siendo un número primo mínimo aunque un subconjunto de los dígitos puede formar el número primo más corto 19 cambiando el orden.
Del mismo modo, hay exactamente 32 números compuestos que no tienen una subsecuencia compuesta más corta:
- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (secuencia A071070 en la OEIS ).
Hay 146 primos congruentes con 1 mod 4 que no tienen primos más cortos congruentes con 1 subsecuencia mod 4:
- 5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... (secuencia A111055 en la OEIS )
Hay 113 primos congruentes con 3 mod 4 que no tienen primos congruentes más cortos con la subsecuencia 3 mod 4:
Otras bases
Los números primos mínimos se pueden generalizar a otras bases. Se puede demostrar que solo hay un número finito de primos mínimos en cada base. De manera equivalente, cada primo suficientemente grande contiene una subsecuencia más corta que forma un primo.
B | primos mínimos en base b (escritos en base b , las letras A, B, C, ... representan valores 10, 11, 12, ...) | |
---|---|---|
1 | 11 | 1 |
2 | 10, 11 | 2 |
3 | 2, 10, 111 | 3 |
4 | 2, 3, 11 | 3 |
5 | 2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441 | 8 |
6 | 2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041 | 7 |
7 | 2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111 | 9 |
8 | 2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441 | 15 |
9 | 2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101 | 12 |
10 | 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 | 26 |
11 | 2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A11901, 6A01166 A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A 99990, 9090000, 6A0A96, 6A 99990 A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 6A99000111A, 4.000 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9999006, A9990006, A9990606, A9999160 A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0 000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441 | 152 |
12 | 2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001 | 17 |
Los números primos mínimos en base 12 escritos en base 10 se enumeran en OEIS : A110600 .
El número de primos mínimos (probables) en base n es
- 1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280, [1] 50, 3463, [2] 651, 2601, [3 ] 1242, 6021, 306, (17608 o 17609), [4] 5664, [5] 17215, [6] 5784, [7] (57296 o 57297), [8] 220, ...
La longitud de la prima mínima (probable) más grande en base n es
- 2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150) , 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...
El primo mínimo (probable) más grande en base n (escrito en base 10) son
- 2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (el siguiente término tiene 35670 dígitos) (secuencia A326609 en la OEIS )
El número de compuestos mínimos en base n es
- 1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...
La longitud del compuesto mínimo más grande en base n es
- 4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...
Notas
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 17, hay 1279 números primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: F1 {9}
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 19, hay 3462 números primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: EE1 {6}
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 21, hay 2600 números primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: G {0} FK
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 25, hay 17597 primos mínimos (probables) conocidos y doce familias sin resolver, pero el primo más pequeño de una de estas familias (LO {L} 8) puede ser o no un primo mínimo, ya que otra familia sin resolver es O { L} 8
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 26, hay 5662 números primos mínimos (probables) conocidos y dos familias sin resolver: {A} 6F y {I} GL
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 27, hay 17210 números primos mínimos (probables) conocidos y cinco familias sin resolver
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 28, hay 5783 números primos mínimos (probables) conocidos y una familia sin resolver: O {A} F
- ^ Este valor es solo una conjetura. Para la base 29, hay 57283 primos mínimos (probables) conocidos y catorce familias sin resolver, pero el primo más pequeño de una de estas familias ({F} OPF) puede ser o no un primo mínimo, ya que otra familia sin resolver es {F} OP
Referencias
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: minimal prime , de Prime Pages
- Una investigación de primos mínimos en las bases 2 a 30
- Primos mínimos y familias no resueltas en bases 2 a 30
- Primos mínimos y familias sin resolver en las bases 28 a 50
- J. Shallit, números primos mínimos , Journal of Recreational Mathematics , 30 : 2, págs. 113-117, 1999-2000.
- Registros PRP, búsqueda por formulario 8 * 13 ^ n +183 (números primos del formulario 8 {0} 111 en base 13), n = 32020
- Registros PRP, búsqueda por formulario (51 * 21 ^ n -1243) / 4 (números primos de la forma C {F} 0K en base 21), n = 479149
- Registros PRP, búsqueda por formulario (106 * 23 ^ n -7) / 11 (números primos del formulario 9 {E} en base 23), n = 800873