En geometría , las eversiones minimax son una clase de eversiones de esfera , construidas utilizando modelos de mitad de camino .
Es un método variacional , y consta de homotopías especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía Willmore ); contraste con las corrugaciones de Thurston, que son genéricas.
El método original de los modelos intermedios no era óptimo: las homotopías regulares pasaban por los modelos intermedios, pero el camino desde la esfera redonda al modelo intermedio se construyó a mano y no era un ascenso / descenso en pendiente.
Eversions a través de modelos a mitad de camino se llaman eversions petaca por Francisco y Morin. [1]
Modelos a mitad de camino
Un modelo a mitad de camino es una inmersión de la esfera. en , que se llama así porque es el punto medio de la eversión de una esfera . Esta clase de eversiones tiene simetría de tiempo: la primera mitad de la homotopía regular va desde la esfera redonda estándar al modelo a mitad de camino, y la segunda mitad (que va desde el modelo a mitad de camino a la esfera de adentro hacia afuera) es la mismo proceso a la inversa.
Explicación
Rob Kusner propuso eversiones óptimas utilizando la energía Willmore en el espacio de todas las inmersiones de la esfera. en . La esfera redonda y la esfera redonda de adentro hacia afuera son los mínimos globales únicos para la energía Willmore, y una eversión minimax es un camino que los conecta pasando por un punto de silla (como viajar entre dos valles a través de un paso de montaña). [2]
Los modelos intermedios de Kusner son puntos de silla para la energía Willmore, que surgen (según un teorema de Bryant) de ciertas superficies mínimas completas en el espacio tridimensional; las eversiones minimax consisten en un ascenso en gradiente desde la esfera redonda hasta el modelo de mitad de camino, luego el descenso en gradiente hacia abajo (el descenso en gradiente para la energía Willmore se llama flujo Willmore ). De manera más simétrica, comience en el modelo a mitad de camino; empuja en una dirección y sigue el flujo de Willmore hacia una esfera redonda; Empuje en la dirección opuesta y siga el flujo de Willmore hacia la esfera redonda de adentro hacia afuera.
Hay dos familias de modelos intermedios (esta observación se debe a Francis y Morin):
- orden impar: generalización de la superficie del niño : simetría triple, quíntuple, etc. El modelo a mitad de camino es un plano proyectivo de doble cubierta (generalmente 2-1 esfera sumergida).
- orden par: generalización de la superficie de Morin : simetría doble, cuádruple, etc. El modelo a mitad de camino es una esfera sumergida genéricamente 1-1, y un giro de media simetría intercambia láminas de la esfera.
Historia
La primera eversión explícita de la esfera fue la de Shapiro y Phillips a principios de la década de 1960, utilizando la superficie de Boy como modelo a mitad de camino. Más tarde, Morin descubrió la superficie de Morin y la usó para construir otras eversiones de esferas. Kusner concibió las eversiones minimax a principios de la década de 1980: detalles históricos .
Referencias
- ^ J. Scott Carter (2012). Una excursión en álgebra de diagramas: convertir una esfera de rojo a azul . World Scientific. págs. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7.
- ^ Michele Emmer (2005). La mente visual II . Prensa del MIT. págs. 485 -. ISBN 978-0-262-05076-0.