En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real, en el espacio de 3 dimensiones encontrado por Werner Boy en 1901. Se descubrió que en la asignación de David Hilbert para probar que el plano proyectivo no podía ser sumergido en 3-espacio .
La superficie de Boy fue parametrizada explícitamente por primera vez por Bernard Morin en 1978. [1] Rob Kusner y Robert Bryant descubrieron otra parametrización . [2] La superficie de Boy es una de las dos posibles inmersiones del plano proyectivo real que tienen un solo punto triple. [3]
A diferencia de la superficie romana y el casquete en cruz , no tiene más singularidades que las autointersecciones (es decir, no tiene puntos de pellizco ).
Construcción
Para hacer la superficie de un niño:
- Empiece con una esfera. Quite una tapa.
- Coloque un extremo de cada una de las tres tiras para alternar sextos del borde izquierdo quitando la tapa.
- Dobla cada tira y une el otro extremo de cada tira al sexto frente al primer extremo, de modo que el interior de la esfera en un extremo esté conectado con el exterior en el otro. Haz que las tiras bordeen el medio en lugar de atravesarlo.
- Une los bordes sueltos de las tiras. Las uniones se cruzan con las tiras.
Simetría de la superficie del niño
La superficie del niño tiene una simetría triple . Esto significa que tiene un eje de simetría rotacional discreta: cualquier giro de 120 ° alrededor de este eje dejará la superficie exactamente igual. La superficie del niño se puede cortar en tres piezas congruentes entre sí .
Modelo en Oberwolfach
El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un modelo grande de la superficie de un niño fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene una simetría rotacional triple y minimiza la energía Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una rejilla de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en bandas de Möbius ordinarias , es decir, torcidas 180 grados. Todas menos una de las franjas correspondientes a los círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) no están torcidas, mientras que la que corresponde al límite del círculo unitario es una franja de Möbius torcida tres veces 180 grados, como es el emblema del instituto. ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).
Aplicaciones
La superficie del niño se puede utilizar en eversión de esfera , como modelo a mitad de camino . Un modelo a mitad de camino es una inmersión de la esfera con la propiedad de que una rotación intercambia el interior y el exterior, por lo que se puede emplear para evertir (girar de adentro hacia afuera) una esfera. Las superficies de Boy (el caso p = 3) y Morin (el caso p = 2) comienzan una secuencia de modelos intermedios con mayor simetría propuestos por primera vez por George Francis, indexados por los enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones pueden ser factorizado a través de un plano proyectivo). La parametrización de Kusner produce todos estos.
Parametrización de la superficie del niño
La superficie del niño se puede parametrizar de varias formas. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant , [4] es la siguiente: dado un número complejo w cuya magnitud es menor o igual a uno (), dejar
así que eso
donde x , y , z son las coordenadas cartesianas deseadas de un punto en la superficie del niño.
Si se realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, se obtiene una superficie mínima completa con tres extremos (así se descubrió naturalmente esta parametrización). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es "óptima" en el sentido de que es la inmersión "menos curvada" de un plano proyectivo en tres espacios .
Propiedad de la parametrización de Bryant-Kusner
Si w se reemplaza por el recíproco negativo de su conjugado complejo ,entonces las funciones g 1 , g 2 y g 3 de w se dejan sin cambios.
Mediante la sustitución de w en términos de sus partes real e imaginaria w = s + que , y expandiendo resultante parametrización, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t . Esto muestra que la superficie de Boy no es solo una superficie algebraica , sino incluso una superficie racional . La observación del párrafo anterior muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, que casi todos los puntos de la superficie de Boy pueden obtenerse mediante dos valores de parámetros).
Relacionar la superficie del niño con el plano proyectivo real
Dejar sea la parametrización de Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Luego
Esto explica la condición en el parámetro: si luego Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para En este caso, uno tiene Esto significa que, si el punto de la superficie del niño se obtiene a partir de dos valores de parámetros: En otras palabras, la superficie del Boy ha sido parametrizada por un disco de manera que pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto muestra que la superficie del Niño es la imagen del plano proyectivo real , RP 2 por un mapa suave . Es decir, la parametrización de la superficie del Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano .
Referencias
Citas
- ^ Morin, Bernard (13 de noviembre de 1978). "Équations du retournement de la sphère" [Ecuaciones de la eversión de la esfera] (PDF) . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . Série A (en francés). 287 : 879–882.
- ^ Kusner, Rob (1987). "Geometría conformal y superficies mínimas completas" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 17 (2): 291–295. doi : 10.1090 / S0273-0979-1987-15564-9 ..
- ^ Goodman, Sue; Marek Kossowski (2009). "Inmersiones del plano proyectivo con un punto triple". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 27 (4): 527–542. doi : 10.1016 / j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 .
- ^ Raymond O'Neil Wells (1988). "Superficies en geometría conforme (Robert Bryant)". La herencia matemática de Hermann Weyl (12 al 16 de mayo de 1987, Universidad de Duke, Durham, Carolina del Norte) . Proc. Simpos. Matemática pura. 48 . American Mathematical Soc. págs. 227–240. doi : 10.1090 / pspum / 048/974338 . ISBN 978-0-8218-1482-6.
Fuentes
- Kirby, Rob (noviembre de 2007), "¿Cuál es la superficie de Boy?" (PDF) , Avisos de la AMS , 54 (10): 1306–1307 Esto describe un modelo lineal por partes de la superficie de Boy.
- Casselman, Bill (noviembre de 2007), "Collapsing Boy's Umbrellas" (PDF) , Avisos de la AMS , 54 (10): 1356 Artículo en la ilustración de la portada que acompaña al artículo de Rob Kirby.
- Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), La superficie del niño en Oberwolfach (PDF).
- Sanderson, B. Boy's será Boy's , (sin fecha, 2006 o antes).
- Weisstein, Eric W. "Superficie de niño" . MathWorld .
enlaces externos
- Superficie de niño en MathCurve; contiene varias visualizaciones, varias ecuaciones, enlaces útiles y referencias
- Un despliegue plano de la superficie del niño - applet de Plus Magazine .
- Recursos de superficie de Boy , incluido el artículo original , y una incrustación de un topólogo en la superficie de Oberwolfach Boy .
- La superficie de un niño LEGO
- Un modelo en papel de la superficie del niño : patrón e instrucciones
- Modelo basado en Java que se puede rotar libremente
- Un modelo de la superficie de Boy en geometría sólida constructiva junto con instrucciones de montaje
- Vídeo de visualización de la superficie de un niño del Instituto de Matemáticas de la Academia de las Artes y las Ciencias de Serbia