En teoría de números y teoría de conjuntos , el problema de superposición mínima es un problema propuesto por el matemático húngaro Paul Erdős en 1955. [1] [2]
Declaración formal del problema
Sean A = { a i } y B = { b j } dos subconjuntos complementarios , una división del conjunto de números naturales {1, 2,…, 2 n } , de modo que ambos tengan la misma cardinalidad , a saber, n . Denote por M k el número de soluciones de la ecuación a i - b j = k , donde k es un número entero que varía entre −2 n y 2 n . M ( n ) se define como:
El problema es estimar M ( n ) cuando n es suficientemente grande. [2]
Historia
Este problema se puede encontrar entre los problemas propuestos por Paul Erdős en la teoría combinatoria de números , conocido por los angloparlantes como el problema de superposición mínima . Fue formulado por primera vez en 1955 en el artículo Algunas observaciones sobre la teoría de números de Riveon Lematematica, y se ha convertido en uno de los problemas clásicos descritos por Richard K. Guy en su libro Problemas no resueltos en teoría de números . [1]
Resultados parciales
Desde que se formuló por primera vez, ha habido un progreso continuo en el cálculo de los límites inferiores y superiores de M ( n ) , con los siguientes resultados: [1] [2]
Más bajo
Límite inferior | Autor (es) | Año |
---|---|---|
P. Erdős | 1955 | |
P. Erdős, Scherk | 1955 | |
S. Swierczkowski | 1958 | |
L. Moser | 1966 | |
JK Haugland | 1996 |
Superior
Límite superior | Autor (es) | Año |
---|---|---|
P. Erdős | 1955 | |
TS Motzkin, KE Ralston y JL Selfridge, | 1956 | |
JK Haugland | 1996 | |
JK Haugland | 2016 |
JK Haugland demostró que existe el límite de M ( n ) / n y que es inferior a 0,385694. Por su investigación, recibió un premio en un concurso de jóvenes científicos en 1993. [3] En 1996, mejoró el límite superior a 0,38201 utilizando un resultado de Peter Swinnerton-Dyer . [4] [2] Esto ahora se ha mejorado aún más a 0.38093. [5]
Los primeros valores conocidos de M ( n )
Los valores de M ( n ) para los primeros 15 enteros positivos son los siguientes: [1]
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ... | |
1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | ... |
Es solo la Ley de los Números Pequeños que es[1]
Referencias
- ↑ a b c d e Guy, Richard K. (2004). "C17". En Bencsáth, Katalin A .; Halmos, Paul R. (eds.). Problemas no resueltos en teoría de números . Nueva York: Springer Science + Business Media Inc. págs. 199–200. ISBN 0-387-20860-7.
- ^ a b c d Finch, Steven (2 de julio de 2004). "Problema de superposición mínima de Erdös" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de abril de 2015 . Consultado el 15 de diciembre de 2013 .
- ^ Haugland, Jan Kristian. "El problema de la mínima superposición" . Consultado el 20 de septiembre de 2016 .
- ^ Haugland, Jan Kristian (1996). "Avances en el problema de mínima superposición" . Revista de teoría de números . Ohio (Estados Unidos). 58 (1): 71–78. doi : 10.1006 / jnth.1996.0064 . ISSN 0022-314X .
- ^ Haugland, Jan Kristian (2016). "El problema de la superposición mínima revisado". arXiv : 1609.08000 [ matemáticas.GM ].