En matemáticas , la fórmula de Minkowski-Steiner es una fórmula que relaciona el área de superficie y el volumen de subconjuntos compactos del espacio euclidiano . Más precisamente, define el área de la superficie como la "derivada" del volumen encerrado en un sentido apropiado.
Se utiliza la fórmula de Minkowski-Steiner, junto con el teorema de Brunn-Minkowski , para demostrar la desigualdad isoperimétrica . Lleva el nombre de Hermann Minkowski y Jakob Steiner .
Declaración de la fórmula de Minkowski-Steiner
Dejar , y deja ser un conjunto compacto. Dejardenotar la medida de Lebesgue (volumen) de. Defina la cantidadpor la fórmula de Minkowski-Steiner
dónde
denota la bola cerrada de radio , y
es la suma de Minkowski de y , así que eso
Observaciones
Medida de superficie
Para series "suficientemente regulares" , la cantidad de hecho se corresponde con el -medida dimensional del límite de . Ver Federer (1969) para un tratamiento completo de este problema.
Conjuntos convexos
Cuando el set es un conjunto convexo , el lim-inf anterior es un límite verdadero , y se puede demostrar que
donde el son algunas funciones continuas de(ver quermassintegrals ) ydenota la medida (volumen) de la bola unitaria en:
dónde denota la función Gamma .
Ejemplo: volumen y área de superficie de una pelota
Tomando da la siguiente fórmula bien conocida para el área de superficie de la esfera de radio, :
dónde es como arriba.
Referencias
- Dacorogna, Bernard (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Londres: Imperial College Press . ISBN 1-86094-508-2.
- Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Nueva York: Springer-Verlag .