En matemáticas , más específicamente, en geometría convexa , el volumen mixto es una forma de asociar un número no negativo a un-tupla de cuerpos convexos en-espacio dimensional. Este número depende del tamaño y la forma de los cuerpos y de su orientación relativa entre sí.
Definición
Dejar ser cuerpos convexos en y considera la función
dónde representa el -volumen dimensional y su argumento es la suma de Minkowski de los cuerpos convexos escalados. Uno puede demostrar quees un polinomio homogéneo de grado, por lo tanto, se puede escribir como
donde las funciones son simétricos. Para una función de índice en particular, el coeficiente se llama el volumen mixto de .
Propiedades
- El volumen mezclado está determinado únicamente por las siguientes tres propiedades:
- ;
- es simétrico en sus argumentos;
- es multilineal: por .
- El volumen mixto no es negativo y aumenta monótonamente en cada variable: por .
- La desigualdad Alexandrov-Fenchel, descubierta por Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Werner Fenchel :
- Numerosas desigualdades geométricas, como la desigualdad de Brunn-Minkowski para cuerpos convexos y la primera desigualdad de Minkowski , son casos especiales de la desigualdad de Alexandrov-Fenchel.
Quermassintegrals
Dejar ser un cuerpo convexo y dejar sea la bola euclidiana de unidad de radio. El volumen mixto
se llama la j -ésima quermassintegral de. [1]
La definición de volumen mixto da como resultado la fórmula Steiner (llamada así por Jakob Steiner ):
Volúmenes intrínsecos
El j -ésimo volumen intrínseco de es una normalización diferente de la quermassintegral, definida por
- o en otras palabras
dónde es el volumen de la -bola de unidad dimensional.
Teorema de caracterización de Hadwiger
El teorema de Hadwiger afirma que toda valoración de cuerpos convexos en que es continuo e invariante bajo movimientos rígidos de es una combinación lineal de quermassintegrals (o, de manera equivalente, de los volúmenes intrínsecos). [2]
Notas
- ^ McMullen, P. (1991). "Desigualdades entre volúmenes intrínsecos" . Monatsh. Matemáticas . 111 (1): 47–53. doi : 10.1007 / bf01299276 . Señor 1089383 .
- ^ Klain, DA (1995). "Una breve prueba del teorema de caracterización de Hadwiger". Mathematika . 42 (2): 329–339. doi : 10.1112 / s0025579300014625 . Señor 1376731 .
enlaces externos
Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Teoría de volumen mixto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press