En matemáticas , el teorema de Brunn-Minkowski (o desigualdad de Brunn-Minkowski ) es una desigualdad que relaciona los volúmenes (o más generalmente las medidas de Lebesgue ) de subconjuntos compactos del espacio euclidiano . La versión original del teorema de Brunn-Minkowski ( Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) se aplicó a conjuntos convexos; la generalización a conjuntos compactos no convexos que se indica aquí se debe a Lazar Lyusternik (1935).
Declaración
Sea n ≥ 1 y sea μ la medida de Lebesgue en R n . Sean A y B dos subconjuntos compactos no vacíos de R n . Entonces se cumple la siguiente desigualdad :
donde A + B denota la suma de Minkowski :
El teorema también es cierto en el contexto donde solo se asume que son medibles y no están vacíos. [1]
Versión multiplicativa
La desigualdad de Brunn-Minkowski implica una versión multiplicativa, utilizando la desigualdad , que es válido para . En particular,. La desigualdad de Prékopa-Leindler es una generalización funcional de esta versión de Brunn-Minkowski.
Sobre la hipótesis
Mensurabilidad
Es posible que ser Lebesgue medible y no ser; se puede encontrar un ejemplo de contador en "Medir conjuntos de ceros con suma no medible". Por otro lado, si son Borel medibles, entonces es la imagen continua del conjunto Borel , tan analítico y , por tanto, medible. Consulte la discusión en la encuesta de Gardner para obtener más información sobre esto, así como las formas de evitar la hipótesis de mensurabilidad.
Observamos que en el caso de que A y B sean compactos, también lo es A + B , siendo la imagen del conjunto compacto bajo el mapa de suma continua: , por lo que las condiciones de mensurabilidad son fáciles de verificar.
No vacío
La condición que son ambos no vacíos es claramente necesario. Esta condición no es parte de las versiones multiplicativas de BM que se indican a continuación.
Pruebas
Damos dos pruebas bien conocidas de Brunn-Minkowski.
Demostración geométrica mediante cuboides y teoría de la medida |
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Damos un argumento bien conocido que sigue una receta general de argumentos en la teoría de la medida; es decir, establece un caso simple por análisis directo, usa la inducción para establecer una extensión finitaria de ese caso especial y luego usa la maquinaria general para obtener el caso general como límite. Una discusión de esta historia de esta demostración se puede encontrar en el Teorema 4.1 en la encuesta de Gardner sobre Brunn-Minkowski . Demostramos la versión del teorema de Brunn-Minkowski que solo requiere ser medible y no vacío.
Por invariancia de traducción de volúmenes, basta con tomar . Luego. En este caso especial, la desigualdad de Brunn-Minkowski afirma que. Después de dividir ambos lados por, esto se deriva de la desigualdad AM-GM :.
Usaremos la inducción sobre el número total de cajas, donde el cálculo anterior establece el caso base de dos cajas. En primer lugar, observamos que hay un hiperplano H alineado con el eje de tal manera que cada lado de H contiene una caja completa de A. Para ver esto, basta reducir al caso donde A consta de dos cajas, y luego calcular que la negación de esta afirmación implica que las dos cajas tienen un punto en común. Para un cuerpo X, dejamos denotar las intersecciones de X con los medios espacios "derecho" e "izquierdo" definidos por H. Observando nuevamente que el enunciado de Brunn-Minkowski es invariante en la traducción, luego traducimos B de modo que; tal traslación existe por el teorema del valor intermedio porquees una función continua, si v es perpendicular a H tiene valores límite 0 y como , entonces toma en algún momento. Ahora tenemos las piezas en su lugar para completar el paso de inducción. Primero, observe que son subconjuntos disjuntos de , y entonces Ahora, ambos tienen una caja menos que A , mientras quecada uno tiene como máximo tantas casillas como B. Por lo tanto, podemos aplicar la hipótesis de inducción: El álgebra elemental muestra que , Después también , para que podamos calcular: La última desigualdad en el cálculo anterior se deriva del hecho general de que .
En este escenario, ambos cuerpos pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante uniones de rectángulos alineados con ejes disjuntos contenidos en su interior; esto se sigue de hechos generales sobre la medida de Lebesgue de conjuntos abiertos. Es decir, tenemos una secuencia de cuerpos, que son uniones disjuntas de un número finito de rectángulos alineados con el eje, donde , y de la misma manera . Entonces tenemos eso, entonces . El lado derecho converge a como , estableciendo este caso especial.
Para un cuerpo compacto X , defina ser el -Espesamiento de X. Aquí cada uno es la bola abierta de radio , así que eso es un conjunto abierto y acotado. Notamos eso, de modo que si X es compacto, entonces. Utilizando la asociatividad y conmutatividad de la suma de Minkowski, junto con el caso anterior, podemos calcular que. Enviandoa 0 establece el resultado.
Recuerde que por el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue para cualquier conjunto medible acotado X, y para cualquier, hay un conjunto compacto con . Por lo tanto,para todo k, utilizando el caso de Brunn-Minkowski que se muestra para conjuntos compactos. Enviando establece el resultado.
Dejamos , y nuevamente argumentar usando el caso anterior que , por lo tanto, el resultado sigue enviando k al infinito. |
Prueba como corolario de la desigualdad Prékopa-Leindler |
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Damos una prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski como corolario de la desigualdad de Prékopa-Leindler , una versión funcional de la desigualdad de BM. Primero probaremos PL, y luego mostraremos que PL implica una versión multiplicativa de BM, luego mostraremos que BM multiplicativo implica BM aditivo. El argumento aquí es más simple que la prueba a través de cuboides, en particular, solo necesitamos probar la desigualdad de BM en una dimensión. Esto sucede porque el enunciado más general de la desigualdad PL que la desigualdad BM permite un argumento de inducción.
Primero, observamos que la desigualdad de Brunn-Minkowski implica una versión multiplicativa, usando la desigualdad , que es válido para . En particular,. La desigualdad de Prékopa-Leindler es una generalización funcional de esta versión de Brunn-Minkowski.
Teorema ( desigualdad de Prékopa-Leindler ) : Fix. Dejar ser funciones no negativas y medibles que satisfagan para todos . Luego. Prueba (principalmente después de esta conferencia ): Necesitaremos la versión unidimensional de BM, es decir, que si son medibles, entonces . Primero, asumiendo que están limitados, cambiamos así que eso . Por lo tanto,, de donde por casi desarticulación tenemos que . Luego pasamos al caso ilimitado filtrando con los intervalos Primero mostramos el caso de la desigualdad PL. Dejar, y tenga en cuenta que . Así, por la versión unidimensional de Brunn-Minkowski, tenemos que. Recordamos que si es no negativo, entonces el teorema de Fubini implica . Entonces, tenemos eso, donde en el último paso usamos la desigualdad AM-GM ponderada , que afirma que por . Ahora probamos el caso. Para, elegimos y establecer . Para cualquier c, definimos, es decir, definir una nueva función en n-1 variables estableciendo la última variable como . Aplicando la hipótesis y haciendo nada más que manipulación formal de las definiciones, tenemos que. Así, por el caso inductivo aplicado a las funciones , obtenemos . Definimos y similar. En esta notación, el cálculo anterior se puede reescribir como:. Dado que hemos probado esto para cualquier fijo, esto significa que la función Satisfacer la hipótesis de la versión unidimensional del teorema PL. Por lo tanto, tenemos que, lo que implica la afirmación del teorema de Fubini. QED
La versión multiplicativa de Brunn-Minkowski se sigue de la desigualdad PL, tomando .
Ahora explicamos cómo derivar la desigualdad BM de la desigualdad PL. Primero, usando las funciones del indicador para La desigualdad de Prékopa-Leindler da rápidamente la versión multiplicativa de Brunn-Minkowski: . Ahora mostramos cómo la desigualdad BM multiplicativa implica la versión aditiva habitual. Suponemos que tanto A como B tienen un volumen positivo, ya que de lo contrario la desigualdad es trivial, y los normalizamos para que tengan un volumen 1 estableciendo. Definimos; tenga en cuenta que. Con estas definiciones, y usando eso, calculamos usando la desigualdad multiplicativa de Brunn-Minkowski que: La forma aditiva de Brunn-Minkowski ahora sigue sacando la escala del cálculo de volumen más a la izquierda y reordenando. |
Corolarios importantes
La desigualdad de Brunn-Minkowski da mucha información sobre la geometría de los cuerpos convexos de alta dimensión. En esta sección esbozamos algunas de esas ideas.
Concavidad de la función de radio (teorema de Brunn)
Considere un cuerpo convexo . Dejarser cortes verticales de K. Definirpara ser la función de radio; si los cortes de K son discos, entonces r (x) da el radio del disco K (x) , hasta una constante. Para cuerpos más generales, esta función de radio no parece tener una interpretación geométrica completamente clara más allá de ser el radio del disco obtenido al empaquetar el volumen del corte lo más cerca posible del origen; en el caso de que K (x) no sea un disco, el ejemplo de un hipercubo muestra que la distancia promedio al centro de masa puede ser mucho mayor que r (x). Observamos que a veces en el contexto de una geometría convexa, la función de radio tiene un significado diferente, aquí seguimos la terminología de esta conferencia .
Por convexidad de K, tenemos que. Al aplicar la desigualdad de Brunn-Minkowski se obtiene, previsto . Esto muestra que la función del radio es cóncava en su soporte, coincidiendo con la intuición de que un cuerpo convexo no se sumerge en sí mismo en ninguna dirección. Este resultado a veces se conoce como teorema de Brunn.
Simetrización de Brunn-Minkowski de un cuerpo convexo
Considere nuevamente un cuerpo convexo . Arreglar alguna línea y para cada dejar denotar el hiperplano afín ortogonal a que pasa por . Definir,; como se discutió en la sección anterior, esta función es cóncava. Ahora deja. Es decir, se obtiene de reemplazando cada rebanada con un disco del mismo -volumen dimensional centrado dentro de . La concavidad de la función radio definida en la sección anterior implica quees convexo. Esta construcción se llama simetrización de Brunn-Minkowski.
Teorema de Grunbaum
Teorema ( teorema de Grunbaum [ cita requerida ] ): Considere un cuerpo convexo. Dejar ser cualquier semiespacio que contenga el centro de masa de ; es decir, la ubicación esperada de un punto uniforme muestreado de Luego .
El teorema de Grunbaum se puede probar usando la desigualdad de Brunn-Minkowski, específicamente la convexidad de la simetrización de Brunn-Minkowski [ cita requerida ] . Consulte estas notas de clase para ver un boceto de prueba.
La desigualdad de Grunbaum tiene la siguiente interpretación justa del corte de pastel. Suponga que dos jugadores están jugando a cortar untorta dimensional, convexa. El jugador 1 elige un punto en el pastel y el jugador dos elige un hiperplano para cortar el pastel. El jugador 1 recibe entonces el corte del pastel que contiene su punto. El teorema de Grunbaum implica que si el jugador 1 elige el centro de masa, entonces lo peor que puede hacer un jugador adversario 2 es darle un trozo de pastel con un volumen de al menos unfracción del total. En las dimensiones 2 y 3, las dimensiones más comunes para pasteles, los límites dados por el teorema son aproximadamenterespectivamente. Tenga en cuenta, sin embargo, que en dimensiones, calcular el centroide es difícil [ cita requerida ] , lo que limita la utilidad de esta estrategia de corte de pastel para criaturas de dimensiones superiores, pero limitadas computacionalmente.
Las aplicaciones del teorema de Grunbaum también aparecen en la optimización convexa, específicamente en el análisis del método de convergencia del centro de gravedad. Vea el teorema 2.1 en estas notas.
Desigualdad isoperimétrica
Dejar denotar la bola de la unidad. Para un cuerpo convexo, K , seadefinir su superficie. Esto concuerda con el significado habitual de área de superficie según la fórmula de Minkowski-Steiner . Considere la función. La desigualdad isoperimétrica establece que esto se maximiza en bolas euclidianas.
Prueba de desigualdad isoperimétrica a través de Brunn-Minkowski |
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Primero, observe que Brunn-Minkowski implica donde en la última desigualdad usamos eso por . Usamos este cálculo para limitar el área de superficie de vía A continuación, usamos el hecho de que , que se deriva de la fórmula de Minkowski-Steiner , para calcular Reorganizar esto produce la desigualdad isoperimétrica: |
Aplicaciones a las desigualdades entre volúmenes mixtos
La desigualdad de Brunn-Minkowski se puede utilizar para deducir la siguiente desigualdad , donde el término es un volumen mixto . La igualdad se cumple si , si K, L son homotéticos. (Véase el teorema 3.4.3 en el curso de Hug y Weil sobre geometría convexa).
Prueba |
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Recordamos los siguientes hechos sobre volúmenes mixtos :, de modo que en particular si , luego . Dejar . El teorema de Brunn implica que esto es cóncavo para. Por lo tanto,, dónde denota la derivada derecha. Tambien tenemos eso. De esto obtenemos, donde aplicamos BM en la última desigualdad. |
Concentración de medida en la esfera y otras superficies estrictamente convexas.
Demostramos el siguiente teorema sobre concentración de medida, siguiendo las notas de Barvinok y las notas de Lap Chi Lau . Ver también Concentración de medida # Concentración en la esfera .
Teorema : Sea ser la esfera unitaria en . Dejar. Definir, donde d se refiere a la distancia euclidiana en . Dejardenotar el área de la superficie en la esfera. Entonces, para cualquier tenemos eso .
Prueba |
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Prueba: dejar, y deja . Entonces para uno puede mostrar, usando y por , que . En particular,. Dejamos y apuntar a demostrar que . Dejar. El siguiente argumento será simétrico en, por lo que asumimos sin pérdida de generalidad que y establecer . Luego,
Esto implica que . (Usando eso para cualquier cuerpo convexo K y, .) Por lo tanto, sabemos que , entonces . Aplicamos la forma multiplicativa de la desigualdad de Brunn-Minkowski al límite inferior del primer término por, dándonos . . QED |
La versión de este resultado es válida también para las llamadas superficies estrictamente convexas, donde el resultado depende del módulo de convexidad . Sin embargo, la noción de área de superficie requiere modificaciones, ver: las notas antes mencionadas sobre concentración de medida de Barvinok.
Observaciones
La demostración del teorema de Brunn-Minkowski establece que la función
es cóncava en el sentido de que, para cada par de subconjuntos compactos no vacíos A y B de R n y cada 0 ≤ t ≤ 1,
Para los conjuntos convexos A y B de medida positiva, la desigualdad en el teorema es estricta para 0 < t <1 a menos que A y B sean homotéticos positivos , es decir, sean iguales hasta la traslación y dilatación por un factor positivo.
Ejemplos de
Cubos redondeados
Es instructivo considerar el caso en el que un cuadrado en el plano, y una bola de radio . En este caso, es un cuadrado redondeado, y su volumen puede contabilizarse como los cuatro cuartos de círculo redondeados de radio , los cuatro rectángulos de dimensiones a lo largo de los lados y el cuadrado original. Por lo tanto,.
Este ejemplo también alude a la teoría de los volúmenes mixtos , ya que los términos que aparecen en la expansión del volumen decorresponden a las piezas de diferentes dimensiones de A. En particular, si reescribimos a Brunn-Minkowski como, vemos que podemos pensar en los términos cruzados de la expansión binomial de este último como una explicación, de alguna manera, de la representación de volumen mixto de . Este mismo fenómeno también se puede ver para la suma de un n- dimensional caja y una bola de radio , donde los términos cruzados en , hasta constantes, tienen en cuenta los volúmenes mixtos. Esto se hace preciso para el primer volumen mezclado en la sección anterior sobre las aplicaciones a volúmenes mezclados .
Ejemplos en los que el límite inferior está suelto
El lado izquierdo de la desigualdad BM puede, en general, ser mucho más grande que el lado derecho. Por ejemplo, podemos tomar X como el eje x e Y como el eje y dentro del plano; entonces cada uno tiene medida cero pero la suma tiene medida infinita. Otro ejemplo lo da el conjunto de Cantor. Si denota el tercio medio conjunto de Cantor, entonces es un ejercicio de análisis para mostrar que .
Conexiones con otras partes de las matemáticas
La desigualdad de Brunn-Minkowski sigue siendo relevante para la geometría y el álgebra modernas. Por ejemplo, existen conexiones con la geometría algebraica, [2] [3] y versiones combinatorias sobre el conteo de conjuntos de puntos dentro de la red de números enteros. [4]
Ver también
- Desigualdad isoperimétrica
- Desigualdad inversa de Brunn-Minkowski de Milman
- Fórmula de Minkowski-Steiner
- Desigualdad Prékopa-Leindler
- Desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale
- Volumen mixto
Referencias
- Brunn, H. (1887). "Über Ovale und Eiflächen". Tesis Inaugural, München. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 . Berlín: 1. Verlag von Julius Springer.
- Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1987). Teoría de los cuerpos convexos . Moscú, Idaho: L. Boron, C. Christenson y B. Smith. Asociados BCS.
- Dacorogna, Bernard (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Londres: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
- Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
- Lyusternik, Lazar A. (1935). "Die Brunn – Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS . Nouvelle Série. III : 55–58.
- Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen . Leipzig: Teubner.
- Ruzsa, Imre Z. (1997). "La desigualdad de Brunn-Minkowski y conjuntos no convexos". Geometriae Dedicata . 67 (3). págs. 337–348. doi : 10.1023 / A: 1004958110076 . Señor 1475877 .
- Rolf Schneider , Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Referencias
- ^ Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski". Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 39 (3): págs. 355–405 (electrónico). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979 .
- ^ GROMOV, M. (1990). "CONJUNTOS CONVEXOS Y COLECTORES KÄHLER". Avances en Topología y Geometría Diferencial . CIENTÍFICO MUNDIAL. págs. 1-38. doi : 10.1142 / 9789814439381_0001 . ISBN 978-981-02-0494-5.
- ^ Neeb, Karl-Hermann (12 de octubre de 2015). "Geometría de Kaehler, mapas de momento y conjuntos convexos". arXiv : 1510.03289v1 [ math.SG ].
- ^ Hernández Cifre, María A .; Iglesias, David; Nicolás, Jesús Yepes (2018). "Sobre una desigualdad de tipo Brunn discreta - Minkowski". Revista SIAM de Matemática Discreta . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). 32 (3): 1840–1856. doi : 10.1137 / 18m1166067 . ISSN 0895-4801 .