En geometría algebraica , un espacio de módulos de curvas ( algebraicas ) es un espacio geométrico (típicamente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan clases de isomorfismo de curvas algebraicas . Es, pues, un caso especial de un espacio modular . Dependiendo de las restricciones aplicadas a las clases de curvas algebraicas consideradas, el problema de módulos correspondiente y el espacio de módulos es diferente. También se distingue entre espacios de módulos finos y gruesos para el mismo problema de módulos.
El problema más básico es el de los módulos de curvas completas suaves de un género fijo . En el campo de los números complejos, estos corresponden precisamente a superficies compactas de Riemann del género dado, para las cuales Bernhard Riemann demostró los primeros resultados sobre espacios de módulos, en particular sus dimensiones ("número de parámetros de los que depende la estructura compleja").
Pilas de módulos de curvas estables
La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves, junto con sus isomorfismos. Cuándo, esta pila se puede compactar agregando nuevos puntos de "límite" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si está completa, conectada, no tiene más singularidades que los puntos dobles y solo tiene un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota. Ambas pilas de módulos llevan familias universales de curvas.
Ambas pilas de arriba tienen dimensión ; por tanto, se puede especificar completamente una curva nodal estable eligiendo los valores de parámetros, cuando . En los géneros inferiores, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos restando su número. Hay exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL (2). De ahí la dimensión de es igual a
Asimismo, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada curva tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0.
Construcción e irreductibilidad
Es un teorema no trivial, probado por Pierre Deligne y David Mumford , [1] que los módulos se apilanes irreductible, lo que significa que no puede expresarse como la unión de dos subestaciones adecuadas. Demuestran esto analizando el locusde curvas estables en el esquema de Hilbert
de curvas incrustadas tri-canónicamente (de la incrustación de la muy amplia para cada curva) que tienen polinomio de Hilbert (nota: esto se puede calcular usando el teorema de Riemann-Roch ). Entonces, la pila
es una construcción del espacio de módulos . Usando la sección 1 de la teoría de la deformación , Deligne y Mumford muestran que esta pila es suave y usan la pila
de isomorfismos entre curvas estables para mostrar que tiene estabilizadores finitos, por lo tanto, es una pila Deligne-Mumford (llamada así por su papel). Además, encuentran una estratificación decomo sección 3
- ,
dónde
- es el subesquema de curvas suaves y estables,
- es un componente irreducible de ,
y analizar los componentes de (como cociente GIT ). Si existieran varios componentes de, ninguno de ellos estaría completo. Además, cualquier componente dedebe contener curvas no singulares. En consecuencia, el locus singular está conectado, por lo tanto, está contenido en un solo componente de . Además, debido a que cada componente se cruza, todos los componentes deben estar contenidos en un solo componente, de ahí el espacio grueso es irreductible. De la teoría general de pilas algebraicas, esto implica el cociente de pila es irreductible.
Adecuación
La propiedad , o compacidad de los orbifolds , se deriva de un teorema sobre reducción estable en curvas. [1] Esto se puede encontrar usando un teorema de Grothendieck sobre la reducción estable de variedades abelianas , y mostrando su equivalencia con la reducción estable de curvas. [1] sección 5.2
Espacios de módulos gruesos
También se pueden considerar los espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos se estudiaron realmente antes de que se introdujera la noción de pila de módulos. De hecho, Deligne y Mumford introdujeron la idea de una pila de módulos en un intento de probar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental.
Los espacios de módulos gruesos tienen la misma dimensión que las pilas cuando ; sin embargo, en el género cero, el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno.
Ejemplos de espacios de bajo módulo de género
Género 0
Determinación de la geometría del espacio de módulos del género. Las curvas se pueden establecer utilizando la Teoría de la deformación . El número de módulos de un género. curva, p. ej. , es impartido por el grupo de cohomología
Con la dualidad de Serre este grupo de cohomología es isomorfo a
para la gavilla dualizadora . Pero, el uso de Riemann-Roch muestra que el grado del paquete canónico es, entonces el grado de es , por lo tanto, no hay secciones globales, lo que significa
mostrando que no hay deformaciones de género curvas. Esto demuestra es solo un punto, y el único género las curvas están dadas por . La única dificultad técnica es el grupo de automorfismo dees el grupo algebraico , que endurece una vez tres puntos [2] en son fijos, por lo que la mayoría de los autores toman significar .
Género 1
El caso del género 1 es uno de los primeros casos bien entendidos de espacios de módulo, al menos sobre los números complejos, porque las clases de isomorfismo de curvas elípticas se clasifican por el invariante J
dónde . Topológicamente, es solo la línea afín, pero se puede compactar en una pila con espacio topológico subyacente agregando una curva estable en el infinito. Esta es una curva elíptica con una sola cúspide. La construcción del caso general sobrefue completado originalmente por Deligne y Rapoport . [3]
Tenga en cuenta que la mayoría de los autores consideran el caso de las curvas del género uno con un punto marcado como el origen del grupo, ya que de lo contrario el grupo estabilizador en un espacio de módulos hipotéticos tendría un grupo estabilizador en el punto dado por la curva, ya que las curvas elípticas tienen una estructura de grupo abeliano. Esto añade una complejidad técnica innecesaria a este hipotético espacio de módulos. Por otro lado,es una pila suave de Deligne-Mumford .
Género 2
Espacio de parámetros afines
En el género 2, es un resultado clásico que todas estas curvas son hiperelípticas , [4] pg 298, por lo que el espacio de los módulos se puede determinar completamente a partir del lugar de las ramas de la curva utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz . Dado que una curva arbitraria de género 2 viene dada por un polinomio de la forma
para algunos definidos de forma única , el espacio de parámetros para tales curvas viene dado por
dónde corresponde al locus . [5]
Espacio proyectivo ponderado
Usando un espacio proyectivo ponderado y la fórmula de Riemann-Hurwitz , una curva hiperelíptica se puede describir como un polinomio de la forma [6]
dónde son parámetros para secciones de . Entonces, el lugar geométrico de las secciones que no contienen raíz triple contiene todas las curvas. representado por un punto .
Género 3
Este es el primer espacio de módulos de curvas que tiene tanto un locus hiperelíptico como un locus no hiperelíptico. [7] [8] Las curvas no hiperelípticas están todas dadas por curvas planas de grado 4 (utilizando la fórmula de grado de género ), que están parametrizadas por el locus liso en el esquema de Hilbert de hipersuperficies
- .
Entonces, el espacio de los módulos es estratificado por las subestaciones.
- .
Geometría biracional
Conjetura de unirracionalidad
En todos los casos anteriores, se puede encontrar que los espacios de módulos son uniracionales , lo que significa que existe un morfismo racional dominante
y durante mucho tiempo se esperaba que esto fuera cierto en todos los géneros. De hecho, Severi demostró que esto es cierto para géneros hasta. [9] Sin embargo, resulta que para el género[10] [11] [12] todos estos espacios de módulos son de tipo general, lo que significa que no son uniracionales. Lo lograron mediante el estudio de la dimensión Kodaira de los espacios de módulos gruesos.
y encontrado por . De hecho, para,
y por lo tanto es de tipo general.
Implicación geométrica
Esto es significativo geométricamente porque implica que cualquier sistema lineal en una variedad reglada no puede contener la curva universal. . [13]
Estratificación del límite de
El espacio de los módulos tiene una estratificación natural en el límite cuyos puntos representan género singular curvas. [14] Se descompone en estratos
- ,
dónde
- por .
- donde la acción permuta los dos puntos marcados.
- cuando sea incluso.
Las curvas que se encuentran por encima de estos loci corresponden a
- Un par de curvas conectado en un punto doble.
- La normalización de un género curva en una singularidad de un solo punto doble.
- Un par de curvas del mismo género conectadas en un punto doble hasta la permutación.
Estratificación de
Para el género caso, hay una estratificación dada por
- .
Se puede utilizar un análisis más detallado de estos estratos para dar a los generadores del anillo de Chow [14] proposición 9.1 .
Módulos de curvas marcadas
También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales del género g con n puntos marcados, por pares distintos y distintos de los nodos. Se dice que tales curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curva que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas suaves (o estables) de género g con n puntos marcados se indican (o ), y tener dimensión .
Un caso de especial interés es la pila de módulos de las curvas del género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas . Las formas modulares de nivel 1 son secciones de paquetes de líneas en esta pila, y las formas modulares de nivel N son secciones de paquetes de líneas en la pila de curvas elípticas con estructura de nivel N (aproximadamente una marca de los puntos de orden N ).
Geometría de límites
Una propiedad importante de los espacios de módulos compactados. es que su límite se puede describir en términos de espacios de módulos para géneros . Dada una curva nodal marcada, estable, se puede asociar su gráfico dual , un gráfico con vértices etiquetados por números enteros no negativos y se le permite tener bucles, múltiples aristas y también medias aristas numeradas. Aquí los vértices del gráfico corresponden a componentes irreductibles de la curva nodal, el etiquetado de un vértice es el género aritmético del componente correspondiente, las aristas corresponden a los nodos de la curva y las medias aristas corresponden a las marcas. El cierre del lugar geométrico de las curvas con un gráfico dual dado enes isomorfo al cociente de pila de un productode módulos compactados, espacios de curvas por un grupo finito. En el producto, el factor correspondiente a un vértice v tiene el género g v tomado del etiquetado y el número de marcasigual al número de aristas salientes y medias aristas en v . El género total g es la suma de g v más el número de ciclos cerrados en el gráfico.
Curvas estables cuyo gráfico dual contiene un vértice etiquetado por (por lo tanto, todos los demás vértices tienen y el gráfico es un árbol) se llaman "cola racional" y su espacio de módulos se denota . Las curvas estables cuyo gráfico dual es un árbol se denominan "tipo compacto" (porque el jacobiano es compacto) y su espacio de módulos se denota. [2]
Ver también
- Módulos de curvas marcadas
- Conjetura de Witten
- Anillo tautológico
- Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
Referencias
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enlaces externos
- "Topología y geometría del espacio de módulos de curvas"
- "Módulos de mapas estables, invariantes de Gromov-Witten y cohomología cuántica"