En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , la dualidad de Serre es una dualidad para la cohomología de gavilla coherente de las variedades algebraicas, probada por Jean-Pierre Serre . La versión básica se aplica a los paquetes de vectores en una variedad proyectiva suave, pero Alexander Grothendieck encontró amplias generalizaciones, por ejemplo, a variedades singulares. En una variedad n- dimensional, el teorema dice que un grupo de cohomologíaes el espacio dual de otro,. La dualidad de Serre es el análogo de la cohomología de gavilla coherente de la dualidad de Poincaré en topología, con el haz de líneas canónicas reemplazando la gavilla de orientación .
El teorema de la dualidad de Serre también es cierto en geometría compleja de manera más general, para variedades complejas compactas que no son necesariamente variedades algebraicas complejas proyectivas . En este contexto, el teorema de la dualidad de Serre es una aplicación de la teoría de Hodge para la cohomología de Dolbeault , y puede verse como un resultado en la teoría de operadores elípticos .
Estas dos interpretaciones diferentes de la dualidad de Serre coinciden para las variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares, mediante una aplicación del teorema de Dolbeault que relaciona la cohomología de la gavilla con la cohomología de Dolbeault.
Dualidad de Serre para paquetes de vectores
Teorema algebraico
Sea X una variedad uniforme de dimensión n sobre un campo k . Definir el paquete de líneas canónicas para ser el paquete de n- formas en X , la potencia exterior superior del paquete cotangente :
Suponga además que X es propio (por ejemplo, proyectivo ) sobre k . Entonces la dualidad de Serre dice: para un paquete de vectores algebraicos E en X y un entero i , hay un isomorfismo natural
de espacios de vectores k de dimensión finita. Aquídenota el producto tensorial de los paquetes de vectores. De ello se deduce que las dimensiones de los dos grupos de cohomología son iguales:
Como en la dualidad de Poincaré, el isomorfismo en la dualidad de Serre proviene del producto de taza en la cohomología de gavilla. Es decir, la composición del producto de taza con un mapa de trazas naturales enes un maridaje perfecto :
El mapa de trazas es el análogo de la cohomología coherente de integración de gavillas en la cohomología de Rham . [1]
Teorema diferencial-geométrico
Serre también demostró el mismo enunciado de dualidad para X, una variedad compleja compacta y E, un paquete de vectores holomórficos . [2] Aquí, el teorema de la dualidad de Serre es una consecuencia de la teoría de Hodge . Es decir, en una variedad compleja compactaequipado con una métrica de Riemann , hay un operador estrella de Hodge
dónde . Además, dado quees complejo, hay una división de las formas diferenciales complejas en formas de tipo. El operador de estrella de Hodge (extendido de forma lineal compleja a formas diferenciales de valor complejo) interactúa con esta clasificación como
Observe que los índices holomórfico y anti-holomórfico han cambiado de lugar. Hay una conjugación de formas diferenciales complejas que intercambian formas de tipo y , y si uno define el operador de estrella de Hodge conjugado-lineal por entonces nosotros tenemos
Usando la estrella de Hodge conjugada-lineal, se puede definir un hermitiano -producto interno en formas diferenciales complejas, por
donde ahora es un -forma, y en particular un valor complejo -form, y por lo tanto se puede integrar en con respecto a su orientación canónica . Además, supongaes un paquete de vectores holomórficos hermitianos. Entonces la métrica hermitiana da un isomorfismo lineal conjugado Entre y su paquete de vector dual , digamos. Definiendo, se obtiene un isomorfismo
dónde consiste en liso -Formas diferenciales complejas valoradas. Usando el emparejamiento entre y dada por y , por lo tanto, se puede definir un hermitiano -producto interior en tal -formas valoradas por
donde aqui significa producto de cuña de formas diferenciales y utilizando el emparejamiento entre y dada por .
El teorema de Hodge para la cohomología de Dolbeault afirma que si definimos
dónde es el operador Dolbeault de y es su adjunto formal con respecto al producto interior, entonces
A la izquierda está la cohomología de Dolbeault, y a la derecha está el espacio vectorial de armónicos-formas diferenciales valoradas definidas por
Usando esta descripción, el teorema de la dualidad de Serre se puede enunciar de la siguiente manera: El isomorfismo induce un isomorfismo lineal complejo
Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la teoría de Hodge anterior. Es decir, si es una clase de cohomología en con representante armónico único , luego
con igualdad si y solo si . En particular, el emparejamiento lineal complejo
Entre y es no degenerado e induce el isomorfismo en el teorema de dualidad de Serre.
El enunciado de la dualidad de Serre en el contexto algebraico puede recuperarse tomando , y aplicando el teorema de Dolbeault , que establece que
donde a la izquierda está la cohomología de Dolbeault y a la derecha la cohomología de la gavilla, donde denota la gavilla de holomorfo -formas. En particular, obtenemos
donde hemos utilizado que la gavilla de holomorphic -forms es solo el paquete canónico de.
Curvas algebraicas
Una aplicación fundamental de la dualidad de Serre son las curvas algebraicas . (Sobre los números complejos, es equivalente a considerar superficies de Riemann compactas .) Para un haz de líneas L en una curva proyectiva suave X sobre un campo k , los únicos grupos de cohomología posiblemente distintos de cero son y . La dualidad de Serre describe la grupo en términos de un grupo (para un paquete de líneas diferente). [3] Eso es más concreto, ya que de un paquete de líneas es simplemente su espacio de secciones.
La dualidad de Serre es especialmente relevante para el teorema de Riemann-Roch para curvas. Para un haz de líneas L de grado d en una curva X de género g , el teorema de Riemann-Roch dice que
Usando la dualidad de Serre, esto se puede reformular en términos más elementales:
La última afirmación (expresada en términos de divisores ) es de hecho la versión original del teorema del siglo XIX. Esta es la herramienta principal que se utiliza para analizar cómo una curva determinada se puede incrustar en el espacio proyectivo y, por tanto, clasificar las curvas algebraicas.
Ejemplo: cada sección global de un paquete de líneas de grado negativo es cero. Además, el grado del paquete canónico es. Por lo tanto, Riemann-Roch implica que para un paquete lineal L de grado, es igual a . Cuando el género g es al menos 2, la dualidad de Serre sigue que. Aquíes el primer orden espacio deformación de X . Este es el cálculo básico necesario para demostrar que el espacio de módulos de las curvas del género g tiene dimensión.
Serre duality para haces coherentes
Otra formulación de la dualidad de Serre se aplica a todas las gavillas coherentes , no solo a los paquetes de vectores. Como primer paso para generalizar la dualidad de Serre, Grothendieck demostró que esta versión funciona para esquemas con singularidades leves, esquemas Cohen-Macaulay , no solo esquemas suaves.
Es decir, para un esquema de Cohen-Macaulay X de dimensión pura n sobre un campo k , Grothendieck definió una gavilla coherenteen X llamado el haz de dualización . (Algunos autores llaman a esta gavilla.) Suponga además que X es propio sobre k . Para una gavilla coherente E en X y un entero i , la dualidad de Serre dice que hay un isomorfismo natural
de espacios de vectores k de dimensión finita. [4] Aquí el grupo Ext se toma en la categoría abeliana de O X {\ Displaystyle O_ {X}} -módulos . Esto incluye la declaración anterior, ya que es isomorfo a cuando E es un paquete de vectores.
Para utilizar este resultado, es necesario determinar explícitamente el haz de dualización, al menos en casos especiales. Cuando X es suave sobre k , es el paquete de líneas canónicas definido anteriormente. De manera más general, si X es un subesquema de Cohen-Macaulay de codimensión r en un esquema uniforme Y sobre k , entonces la gavilla de dualización se puede describir como una gavilla Ext : [5]
Cuando X es una intersección local completa de codimensión r en un esquema uniforme Y , hay una descripción más elemental: el paquete normal de X en Y es un paquete vectorial de rango r , y el haz de dualización de X viene dado por [6]
En este caso, X es un esquema Cohen-Macaulay conun paquete de líneas, que dice que X es Gorenstein .
Ejemplo: Sea X una intersección completa en el espacio proyectivosobre un campo k , definido por polinomios homogéneos de grados . (Decir que esta es una intersección completa significa que X tiene dimensión.) Hay paquetes de líneas O ( d ) enpara enteros d , con la propiedad de que los polinomios homogéneos de grado d pueden verse como secciones de O ( d ). Entonces el haz de dualización de X es el paquete de líneas
por la fórmula adjunta . Por ejemplo, el haz dualizador de una curva plana X de grado d es.
Módulos complejos de los triples de Calabi-Yau
En particular, podemos calcular el número de deformaciones complejas, igual a por una quíntica triple en , una variedad Calabi-Yau, que utiliza la dualidad de Serre. Dado que la propiedad Calabi – Yau garantiza La dualidad de Serre nos muestra que mostrando que el número de módulos complejos es igual a en el diamante Hodge. Por supuesto, el último enunciado depende del teorema de Bogomolev-Tian-Todorov que establece que cada deformación en un Calabi-Yau está libre de obstáculos.
Dualidad de Grothendieck
La teoría de Grothendieck de la dualidad coherente es una amplia generalización de la dualidad de Serre, utilizando el lenguaje de las categorías derivadas . Para cualquier esquema X de tipo finito sobre un campo k , hay un objetode la categoría derivada acotada de poleas coherentes en X ,, llamado el complejo de dualización de X sobre k . Formalmente,es la excepcional imagen inversa , donde f es el morfismo dado. Cuando X es Cohen-Macaulay de dimensión pura n , es ; es decir, es el haz de dualización discutido anteriormente, visto como un complejo en grado (cohomológico) - n . En particular, cuando X es suave sobre k ,es el paquete de líneas canónicas colocado en grado - n .
Usando el complejo de dualización, la dualidad de Serre se generaliza a cualquier esquema adecuado X sobre k . Es decir, hay un isomorfismo natural de espacios de vectores k de dimensión finita
para cualquier objeto E en. [7]
De manera más general, para un esquema adecuado X sobre k , un objeto E en, y F un complejo perfecto en, uno tiene la elegante declaración:
Aquí el producto tensorial significa el producto tensorial derivado , como es natural en las categorías derivadas. (Para comparar con formulaciones anteriores, tenga en cuenta que se puede ver como .) Cuando X también es suave sobre k , cada objeto enes un complejo perfecto, por lo que esta dualidad se aplica a todos los E y F en. La declaración anterior se resume luego diciendo quees un functor de Serre enpara X suave y adecuado sobre k . [8]
La dualidad de Serre se aplica de manera más general a los espacios algebraicos adecuados sobre un campo. [9]
Notas
- ^ Huybrechts (2005), ejercicio 3.2.3.
- ↑ Serre (1955); Huybrechts (2005), Proposición 4.1.15.
- ^ Para una curva, la dualidad de Serre es más simple pero aún no trivial. Una prueba se da en Tate (1968).
- ^ Hartshorne (1977), Teorema III.7.6.
- ^ Hartshorne (1977), prueba de la Proposición III.7.5; Proyecto de pilas, etiqueta 0A9X.
- ↑ Hartshorne (1977), Teorema III.7.11; Proyecto de pilas, etiqueta 0BQZ.
- ↑ Hartshorne (1966), Corolario VII.3.4 (c); Proyecto de pilas, etiqueta 0B6I; Proyecto de pilas, etiqueta 0B6S.
- ^ Huybrechts (2006), Definición 1.28, Teorema 3.12.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 0E58.
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977), geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052
- Hartshorne, Robin (1966), Residues and duality , Lecture Notes in Mathematics, 20 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, MR 0222093
- "Dualidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
- Huybrechts, Daniel (2006), Fourier – Mukai transforma en geometría algebraica , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, MR 2244106
- Serre, Jean-Pierre (1955), "Un théorème de dualité", Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9-26, doi : 10.1007 / BF02564268 , MR 0067489
- Tate, John (1968), "Residues of differentials on curves" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033 / asens.1162 , ISSN 0012-9593 , MR 0227171
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks