Cinta de Moebius
En matemáticas , un Möbius tira , banda o bucle ( Estados Unidos : / m oʊ b i ə s , m eɪ - / MOH -bee-əs, MAYO - , UK : / m ɜː b i ə s / ; [ 1] Alemán: [ˈmøːbi̯ʊs] ), también escrito Mobius o Moebius , es una superficiecon un solo lado (cuando está incrustado en el espacio euclidiano tridimensional ) y solo una curva límite . La banda de Möbius es la superficie no orientable más simple . Se puede realizar como una superficie reglada . Su descubrimiento se atribuye de forma independiente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, [2] [3] [4] [5] aunque se pueden ver estructuras similares en mosaicos romanos c. 200-250 d. C. [6] [7] Möbius publicó sus resultados en sus artículos "Theorie der elementaren Verwandtschaft" (1863) y "Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders" (1865).[8]
Se puede hacer un ejemplo de una tira de Möbius tomando una tira de papel y dando un medio giro a un extremo, luego uniendo los extremos para formar un bucle; su límite es una simple curva cerrada que se puede trazar con una sola cuerda sin nudos . Cualquier espacio topológico homeomórfico para este ejemplo también se denomina banda de Möbius, lo que permite una gran variedad de realizaciones geométricas como superficies con un tamaño y forma definidos . Por ejemplo, cualquier rectángulo se puede pegar desde el borde izquierdo al derecho con una orientación inversa. Algunas, pero no todas, pueden modelarse sin problemas como superficies en el espacio euclidiano . Una superficie estrechamente relacionada, pero no homeomórfica, es la banda abierta completa de Möbius., una superficie sin límites en la que el ancho de la franja se extiende infinitamente para convertirse en una línea euclidiana.
Un medio giro en el sentido de las agujas del reloj proporciona una incrustación de la tira de Möbius que no se puede mover ni estirar para dar el medio giro en el sentido contrario a las agujas del reloj; así, una tira de Möbius incrustada en el espacio euclidiano es un objeto quiral con destreza para diestros o zurdos. La tira de Möbius también se puede incrustar girando la tira cualquier número impar de veces, o anudando y torciendo la tira antes de unir sus extremos.
Encontrar ecuaciones algebraicas recortando una tira de Möbius es sencillo, pero estas ecuaciones no describen la misma forma geométrica que el modelo de papel retorcido anterior. Dichos modelos de papel son superficies desarrollables que tienen una curvatura gaussiana cero y pueden describirse mediante ecuaciones algebraicas diferenciales . [9]
La tira de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Una línea dibujada a lo largo del borde viaja en un círculo completo hasta un punto opuesto al punto de partida. Si continúa, la línea vuelve al punto de partida y tiene el doble de la longitud de la franja original: esta única curva continua atraviesa todo el límite.
Cortar una tira de Möbius a lo largo de la línea central con un par de tijeras produce una tira larga con dos giros completos en ella, en lugar de dos tiras separadas; el resultado no es una tira de Möbius, sino homeomorfa a un cilindro. Esto sucede porque la tira original solo tiene un borde, el doble de largo que la tira original. El corte produce un segundo borde independiente de la misma longitud, la mitad a cada lado de las tijeras. Cortar esta nueva tira más larga por la mitad produce dos tiras enrolladas una alrededor de la otra, cada una con dos giros completos.
