La proyección de Mollweide es un área igual , pseudocilíndrica proyección cartográfica utilizada generalmente para mapas globales del mundo cielo o de la noche. También se conoce como proyección de Babinet , proyección homalográfica , proyección homolográfica y proyección elíptica . La proyección cambia la precisión del ángulo y la forma por la precisión de las proporciones en el área y, como tal, se usa donde se necesita esa propiedad, como mapas que representan distribuciones globales.
La proyección fue publicada por primera vez por el matemático y astrónomo Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774-1825) de Leipzig en 1805. Fue reinventada y popularizada en 1857 por Jacques Babinet , quien le dio el nombre de proyección homalográfica . La variación homolográfica surgió del uso frecuente del siglo XIX en los atlas de estrellas. [1]
Propiedades
El Mollweide es una proyección pseudocilíndrica en la que el ecuador se representa como una línea horizontal recta perpendicular a un meridiano central de la mitad de su longitud. Los otros paralelos se comprimen cerca de los polos, mientras que los otros meridianos están igualmente espaciados en el ecuador. Los meridianos a 90 grados este y oeste forman un círculo perfecto, y toda la tierra está representada en una elipse proporcional de 2: 1. La proporción del área de la elipse entre cualquier paralelo dado y el ecuador es la misma que la proporción del área del globo entre ese paralelo y el ecuador, pero a expensas de la distorsión de la forma, que es significativa en el perímetro del ecuador. elipse, aunque no tan severa como en la proyección sinusoidal .
La distorsión de la forma se puede reducir utilizando una versión interrumpida . Una proyección de Mollweide interrumpida sinusoidal descarta el meridiano central en favor de semidirianos alternos que terminan en ángulo recto con el ecuador. Esto tiene el efecto de dividir el globo en lóbulos. En contraste, una proyección de Mollweide interrumpida paralela usa múltiples meridianos centrales disjuntos, dando el efecto de múltiples elipses unidas en el ecuador. Más raramente, la proyección se puede dibujar de forma oblicua para desplazar las áreas de distorsión a los océanos, lo que permite que los continentes sigan siendo más verdaderos para formarse.
El Mollweide, o sus propiedades, ha inspirado la creación de varias otras proyecciones, incluida la homolosina de Goode , van der Grinten y el eumorphic de Boggs . [4]
Formulación matemática
Las transformadas de proyección de latitud y longitud a las coordenadas del mapa x y y a través de las siguientes ecuaciones: [5]
donde θ es un ángulo auxiliar definido por
y λ es la longitud, λ 0 es el meridiano central, φ es la latitud y R es el radio del globo que se proyecta. El mapa tiene un área 4 π R 2 , conforme al área de la superficie del globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], y la coordenada y tiene un rango de [- R √ 2 , R √ 2 ].
La ecuación (1) se puede resolver con convergencia rápida (pero lenta cerca de los polos) usando la iteración de Newton-Raphson : [5]
Si φ = ±π/2, entonces también θ = ± π/2. En ese caso, la iteración debe omitirse; de lo contrario, puede resultar una división por cero .
Existe una transformación inversa de forma cerrada : [5]
donde θ se puede encontrar por la relación
Las transformaciones inversas permiten encontrar la latitud y la longitud correspondientes a las coordenadas x e y del mapa .
Ver también
Notas
- ^ La fórmula del texto ayuda al lector a confirmar que la fórmula es correcta. Para el cálculo numérico, el denominador debe cambiarse, comenzando con la identidad del doble ángulo.
Referencias
- ^ Aplanamiento de la Tierra: dos mil años de proyecciones cartográficas , John P. Snyder, 1993, págs. 112-113, ISBN 0-226-76747-7 .
- ^ Gannon, Megan (21 de diciembre de 2012). "Nueva 'imagen de bebé' del universo develada" . Space.com . Consultado el 21 de diciembre de 2012 .
- ^ Bennett, CL; Larson, L .; Weiland, JL; Jarosk, N .; Hinshaw, N .; Odegard, N .; Smith, KM; Hill, RS; Gold, B .; Halpern, M .; Komatsu, E .; Nolta, MR; Page, L .; Spergel, DN; Wollack, E .; Dunkley, J .; Kogut, A .; Limon, M .; Meyer, SS; Tucker, GS; Wright, EL (2013). "Observaciones de la sonda de anisotropía de microondas Wilkinson de nueve años (WMAP): mapas finales y resultados". La serie de suplementos de revistas astrofísicas . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Código bibliográfico : 2013ApJS..208 ... 20B . doi : 10.1088 / 0067-0049 / 208/2/20 .
- ^ Proyecciones de mapas: un manual de trabajo ,documento profesional de USGS 1395, John P. Snyder, 1987, págs. 249–252
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Proyección de Mollweide" . MathWorld .
enlaces externos
- Un subprograma Java interactivo para estudiar las deformaciones (área, distancia y ángulo) de la proyección cartográfica de Mollweide
- Proyección de Mollweide en Mathworld