Mapa de momentos

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el mapa de momento (o, por etimología falsa, mapa de momento ^[1] ) es una herramienta asociada a una acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre una variedad simpléctica , utilizada para construir cantidades conservadas para la acción. El mapa de momento generaliza las nociones clásicas de momento lineal y angular . Es un ingrediente esencial en varias construcciones de variedades simplécticas, incluidos los cocientes simplécticos ( Marsden-Weinstein ) , discutidos a continuación, y Cortes y sumas simplécticas .

Sea M una variedad de forma simpléctica ω. Supongamos que un grupo de Lie G actúa sobre M a través de simplectomorfismos (es decir, la acción de cada g en G conserva ω). Sea el álgebra de mentira de G , su dual , y ${\mathfrak{g}}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$

el maridaje entre ambos. Cualquier ξ in induce un campo vectorial ρ(ξ) sobre M que describe la acción infinitesimal de ξ. Para ser precisos, en un punto x en M el vector es ${\mathfrak{g}}$ ${\ estilo de visualización \ rho (\ xi) _ {x}}$

donde es el mapa exponencial y denota la acción G en M . ^[2] Denotemos la contracción de este campo vectorial con ω. Como G actúa por simplectomorfismos, se sigue que es cerrado (para todo ξ en ). $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ ${\ estilo de visualización \ cdot}$ ${\ estilo de visualización \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$ ${\ estilo de visualización \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$ ${\mathfrak{g}}$

Supongamos que no solo es cerrado sino también exacto, de modo que para alguna función . Supongamos también que el envío del mapa es un homomorfismo de álgebra de Lie. Entonces, un mapa de cantidad de movimiento para la acción G en ( M , ω) es un mapa tal que ${\ estilo de visualización \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega \,}$ ${\ estilo de visualización \ iota _ {\ rho (\ xi)} \ omega = dH_ {\ xi}}$ $H_{\xi}$ ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty}(M)$ $\xi \mapsto H_{\xi }$ $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$