En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el corte simpléctico es una modificación geométrica en variedades simplécticas . Su efecto es descomponer una variedad determinada en dos partes. Hay una operación inversa, la suma simpléctica , que une dos variedades en una. El corte simpléctico también se puede ver como una generalización de simpléctico hinchable . El corte fue introducido en 1995 por Eugene Lerman, quien lo utilizó para estudiar el cociente simpléctico y otras operaciones en variedades.
Descripción topológica
Dejar ser cualquier variedad simpléctica y
un hamiltoniano en. Dejar ser cualquier valor regular de , de modo que el nivel establecido es un colector suave. Suponga además quetiene fibras en círculos, cada uno de los cuales es una curva integral del campo vectorial hamiltoniano inducido .
Bajo estos supuestos, es una variedad con límite , y uno puede formar una variedad
colapsando cada fibra circular en un punto. En otras palabras, es con el subconjunto eliminado y el límite colapsó a lo largo de cada fibra circular. El cociente del límite es una subvariedad dede codimensión dos, denotado.
Del mismo modo, uno puede formarse de un colector , que también contiene una copia de . El corte simpléctico es el par de variedades y .
A veces es útil ver las dos mitades del corte simpléctico como unidas a lo largo de su subvariedad compartida para producir un espacio singular
Por ejemplo, este espacio singular es la fibra central en la suma simpléctica considerada como una deformación.
Descripción simpléctica
La descripción anterior es bastante burda; se requiere más cuidado para seguir la pista de la estructura simpléctica en el corte simpléctico. Por esto, dejaser cualquier variedad simpléctica. Suponga que el grupo circular actúa sobrede forma hamiltoniana con mapa de momentos
Este mapa de momentos puede verse como una función hamiltoniana que genera la acción del círculo. El espacio del producto, con coordenada en , viene con una forma simpléctica inducida
El grupo actúa sobre el producto de una manera hamiltoniana
con mapa de momento
Dejar ser cualquier número real tal que la acción del círculo sea gratuita en . Luego es un valor regular de , y es un colector.
Este colector contiene como subvarietal el conjunto de puntos con y ; esta subvariedad se identifica naturalmente con. El complemento de la subvariedad, que consta de puntos con , se identifica naturalmente con el producto de
y el círculo.
El colector hereda la acción del círculo hamiltoniano, al igual que sus dos subvariedades que acabamos de describir. Entonces uno puede formar el cociente simpléctico
Por construcción, contiene como un sub-colector denso abierto; esencialmente, compacta esta variedad abierta con el cociente simpléctico
que es una subvariedad simpléctica de de la codimensión dos.
Si es Kähler , entonces también lo es el espacio cortado; sin embargo, la incrustación de no es una isometría.
Uno construye , la otra mitad del corte simpléctico, de manera simétrica. Los paquetes normales deen las dos mitades del corte están opuestas entre sí (es decir, simplécticamente anti-isomórficas). La suma simpléctica de y a lo largo de recupera .
La existencia de una acción del círculo hamiltoniano global sobre parece ser una suposición restrictiva. Sin embargo, no es realmente necesario; el corte se puede realizar bajo hipótesis más generales, como una acción de círculo hamiltoniano local cerca (ya que el corte es una operación local).
Explotar como cortar
Cuando una variedad compleja está volado a lo largo de un sub-colector , el lugar de la explosión es reemplazado por un divisor excepcional y el resto del colector se deja intacto. Topológicamente, esta operación también puede verse como la eliminación de un-el vecindario del lugar de la explosión, seguido por el colapso del límite por el mapa de Hopf .
Explotar una variedad simpléctica es más sutil, ya que la forma simpléctica debe ajustarse en una vecindad del lugar de explosión para continuar suavemente a través del divisor excepcional en la explosión. El corte simpléctico es un medio elegante de hacer que el proceso de eliminación de vecindario / colapso de límites sea simplécticamente riguroso.
Como antes, deja ser una variedad simpléctica con un hamiltoniano -acción con mapa de momentos . Suponga que el mapa de momentos es adecuado y que alcanza su máximo exactamente a lo largo de una subvariedad simpléctica de . Suponga además que los pesos de la representación de isotropía de en el paquete normal son todos .
Entonces para pequeños los únicos puntos críticos en son los de . El corte simpléctico, que se forma eliminando un simpléctico -barrio de y colapsando el límite, es entonces la explosión simpléctica de a lo largo de .
Referencias
- Eugene Lerman: Cortes simplécticos , Mathematical Research Letters 2 (1995), 247–258
- Dusa McDuff y D. Salamon: Introducción a la topología simpléctica (1998) Monografías matemáticas de Oxford, ISBN 0-19-850451-9 .