En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivado interior , multiplicación interior , multiplicación interno , derivado interior , operador de inserción , o derivación interior ) es un grado -1 (anti) de derivación en el álgebra exterior de formas diferenciales en un múltiple liso . El producto interior, nombrado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interior . El producto interior ι X ωa veces se escribe como X ⨼ ω . [1]
Definición
El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por tanto, si X es un campo vectorial en la variedad M , entonces
es el mapa que envía una p -form ω a la ( p -1) -forma ι X ω definido por la propiedad de que
para cualquier campo vectorial X 1 , ..., X p −1 .
El producto interior es la antiderivación única de grado -1 en el álgebra exterior tal que en una forma α
- ,
donde ⟨,⟩ es el emparejamiento dualidad entre α y el vector X . Explícitamente, si β es una forma p y γ es una forma q, entonces
La relación anterior dice que el producto interior obedece a una regla graduada de Leibniz . Una operación que satisface la linealidad y una regla de Leibniz se llama derivación.
Propiedades
Por antisimetría de formas,
y entonces . Esto se puede comparar con la derivada exterior d , que tiene la propiedad d ∘ d = 0 .
El producto interior relaciona el derivado exterior y el derivado de Lie de las formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan [2] o fórmula mágica de Cartan ) :
Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en geometría simpléctica y relatividad general : ver mapa de momentos . [3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan . [4]
El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales , satisface la identidad
Ver también
Notas
- ^ El carácter ⨼ es U + 2A3C en Unicode
- ^ Tu, Sec 20.5.
- ^ Hay otra fórmula llamada "fórmula de Cartan". Ver álgebra de Steenrod .
- ^ ¿La "fórmula mágica de Cartan" se debe a Élie o Henri? , mathoverflow , 2010-09-21 , consultado el 2018-06-25
Referencias
- Theodore Frankel, La geometría de la física: una introducción ; Cambridge University Press, 3ª ed. 2011
- Loring W. Tu, Introducción a los colectores , 2e, Springer. 2011. doi : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6