En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , la suma simpléctica es una modificación geométrica en variedades simplécticas , que une dos variedades dadas en una sola nueva. Es una versión simpléctica de la suma conectada a lo largo de una subvariedad, a menudo llamada suma de fibras.
La suma simpléctica es la inversa del corte simpléctico , que descompone una variedad dada en dos partes. Juntos, la suma simpléctica y el corte pueden verse como una deformación de variedades simplécticas, análoga, por ejemplo, a la deformación del cono normal en geometría algebraica .
La suma simpléctica se ha utilizado para construir familias previamente desconocidas de variedades simplécticas y para derivar relaciones entre los invariantes Gromov-Witten de variedades simplécticas.
Definición
Dejar y ser dos simplécticos - colectores y un simpléctico -manifold, incrustado como sub-múltiple en ambos y vía
tal que las clases de Euler de los paquetes normales son opuestas:
En el artículo de 1995 que definió la suma simpléctica, Robert Gompf demostró que para cualquier orientación, isomorfismo inverso
hay una clase de isotopía canónica de estructuras simplécticas en la suma conectada
cumpliendo varias condiciones de compatibilidad con los sumandos . En otras palabras, el teorema define una operación de suma simpléctica cuyo resultado es una variedad simpléctica, única hasta la isotopía.
Para producir una estructura simpléctica bien definida, la suma conectada debe realizarse prestando especial atención a las opciones de varias identificaciones. Hablando libremente, el isomorfismo se compone de una involución simpléctica de inversión de la orientación de los haces normales de (o más bien sus correspondientes paquetes de discos unitarios perforados); entonces esta composición se usa para pegar a a lo largo de las dos copias de .
Generalizaciones
En mayor generalidad, la suma simpléctica se puede realizar en una única variedad simpléctica que contiene dos copias separadas de , pegando el colector a sí mismo a lo largo de las dos copias. La descripción anterior de la suma de dos variedades corresponde entonces al caso especial donde consta de dos componentes conectados, cada uno con una copia de .
Además, la suma se puede realizar simultáneamente en subvariedades de igual dimensión y encuentro transversalmente .
También existen otras generalizaciones. Sin embargo, no es posible eliminar el requisito de que ser de codimensión dos en el , como muestra el siguiente argumento.
Una suma simpléctica a lo largo de una subvariedad de codimensión requiere una involución simpléctica de un -anulo dimensional. Si existe esta involución, se puede utilizar para parchear dos-bolas dimensionales juntas para formar un simpléctico -dimensional esfera . Debido a que la esfera es una variedad compacta , una forma simplécticaen él induce una clase de cohomología distinta de cero
Pero este segundo grupo de cohomología es cero a menos que . Por tanto, la suma simpléctica sólo es posible a lo largo de una subvariedad de codimensión dos.
Elemento de identidad
Dado con subvarietal simpléctica codimensión dos , uno puede completar proyectivamente el paquete normal de en hacia -manojo
Esto contiene dos copias canónicas de : la sección cero , que tiene un paquete normal igual al de en , y la sección infinita , que tiene un paquete normal opuesto. Por lo tanto, uno puede sumar simplécticamente con ; el resultado es de nuevo, con ahora jugando el papel de :
Entonces, para cualquier par en particular existe un elemento de identidad por la suma simpléctica. Estos elementos de identidad se han utilizado tanto para establecer teorías como en cálculos; vea abajo.
Suma simpléctica y corte como deformación
A veces es provechoso considerar la suma simpléctica como una familia de variedades. En este marco, los datos proporcionados, , , , , determinar un liso único -variedad simpléctica dimensional y una fibracion
en el que la fibra central es el espacio singular
obtenido uniendo los sumandos a lo largo de , y la fibra genérica es una suma simpléctica de la . (Es decir, las fibras genéricas son todas miembros de la clase de isotopía única de la suma simpléctica).
Hablando libremente, uno construye esta familia de la siguiente manera. Elija una sección holomórfica que no desaparezca del paquete de línea compleja trivial
Entonces, en la suma directa
con que representa un vector normal para en , considere el lugar geométrico de la ecuación cuadrática
para un pequeño elegido . Uno puede pegar ambos (los sumandos con eliminado) en este locus; el resultado es la suma simpléctica.
Como varía, las sumas naturalmente forman la familia descrito arriba. La fibra centrales el corte simpléctico de la fibra genérica. De modo que la suma simpléctica y el corte pueden verse juntos como una deformación cuadrática de variedades simplécticas.
Un ejemplo importante ocurre cuando uno de los sumandos es un elemento de identidad. . Pues entonces la fibra genérica es una variedad simpléctica y la fibra central es con el paquete normal de "pellizcado en el infinito" para formar el -manojo . Esto es análogo a la deformación del cono normal a lo largo de un divisor suave. en geometría algebraica. De hecho, los tratamientos simplécticos de la teoría de Gromov-Witten a menudo usan la suma / corte simpléctico para los argumentos de "reescalar el objetivo", mientras que los tratamientos algebro-geométricos usan la deformación del cono normal para estos mismos argumentos.
Sin embargo, la suma simpléctica no es una operación compleja en general. No es necesario que la suma de dos colectores Kähler sea Kähler.
Historia y aplicaciones
La suma simpléctica fue definida claramente por primera vez en 1995 por Robert Gompf. Lo usó para demostrar que cualquier grupo presentado de manera finita aparece como el grupo fundamental de una variedad simpléctica de cuatro. Así, se demostró que la categoría de variedades simplécticas era mucho más grande que la categoría de variedades de Kähler.
Casi al mismo tiempo, Eugene Lerman propuso el corte simpléctico como una generalización del estallido simpléctico y lo usó para estudiar el cociente simpléctico y otras operaciones en variedades simplécticas.
Varios investigadores han investigado posteriormente el comportamiento de las curvas pseudoholomorfas bajo sumas simplécticas, demostrando varias versiones de una fórmula de suma simpléctica para invariantes de Gromov-Witten. Esta fórmula ayuda al cálculo al permitir descomponer una variedad dada en piezas más simples, cuyas invariantes de Gromov-Witten deberían ser más fáciles de calcular. Otro enfoque es utilizar un elemento de identidad para escribir el colector como suma simpléctica
Una fórmula para los invariantes de Gromov-Witten de una suma simpléctica produce una fórmula recursiva para los invariantes de Gromov-Witten de .
Referencias
- Robert Gompf: Una nueva construcción de variedades simplécticas, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
- Dusa McDuff y Dietmar Salamon: Introducción a la topología simpléctica (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9
- Dusa McDuff y Dietmar Salamon: J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology (2004) Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3485-1