En probabilidad y estadística , una medida de momento es una cantidad matemática , función o, más precisamente, medida que se define en relación con objetos matemáticos conocidos como procesos puntuales , que son tipos de procesos estocásticos que se utilizan a menudo como modelos matemáticos de fenómenos físicos representables de forma aleatoria. puntos posicionados en el tiempo , el espacio o ambos. Las medidas de momento generalizan la idea de momentos (brutos) de variables aleatorias, de ahí que surjan a menudo en el estudio de procesos puntuales y campos relacionados. [1]
Un ejemplo de una medida de momento es la primera medida de momento de un proceso puntual, a menudo llamada medida media o medida de intensidad , que da el número esperado o promedio de puntos del proceso puntual que se ubican en alguna región del espacio. [2] En otras palabras, si el número de puntos de un proceso puntual ubicado en alguna región del espacio es una variable aleatoria, entonces la medida del primer momento corresponde al primer momento de esta variable aleatoria. [3]
Las medidas de momento ocupan un lugar destacado en el estudio de procesos puntuales [1] [4] [5] , así como en los campos relacionados de la geometría estocástica [3] y la estadística espacial [5] [6] cuyas aplicaciones se encuentran en numerosas disciplinas científicas y de ingeniería como biología , geología , física y telecomunicaciones . [3] [4] [7]
Notación de proceso de puntos
Los procesos puntuales son objetos matemáticos que se definen en algún espacio matemático subyacente . Dado que estos procesos se utilizan a menudo para representar conjuntos de puntos dispersos aleatoriamente en el espacio físico, el tiempo o ambos, el espacio subyacente suele ser el espacio euclidiano d- dimensional denotado aquí por, pero se pueden definir en espacios matemáticos más abstractos . [1]
Los procesos puntuales tienen varias interpretaciones, que se reflejan en los diversos tipos de notación de procesos puntuales . [3] [7] Por ejemplo, si un punto pertenece o es miembro de un proceso puntual, denotado por , entonces esto se puede escribir como: [3]
y representa el proceso puntual que se interpreta como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos deubicado en algún conjunto de Borel a menudo se escribe como: [2] [3] [6]
que refleja una interpretación de medida aleatoria para procesos puntuales. Estas dos notaciones se utilizan a menudo en paralelo o indistintamente. [2] [3] [6]
Definiciones
n -ésima potencia de un proceso puntual
Por algún entero , la -ésima potencia de un proceso puntual se define como: [2]
dónde es una colección de conjuntos de Borel no necesariamente disjuntos (en ), que forman una -pliegue el producto cartesiano de conjuntos denotados por. El símbolodenota multiplicación estándar .
La notación refleja la interpretación del proceso puntual como medida aleatoria. [3]
La -ésima potencia de un proceso puntual se puede definir de forma equivalente como: [3]
donde la suma se realiza sobre todo- tuplas de puntos (posiblemente repetidos), ydenota una función indicadora tal quees una medida de Dirac . Esta definición se puede contrastar con la definición de la n potencia -factorial de un proceso de punto para el que cada uno de n - tuplas consta de n puntos.
medida de n -ésimo momento
La -ésima medida de momento se define como:
donde la E denota la expectativa ( operador ) del proceso puntual. En otras palabras, la n -ésima medida del momento es la expectativa de la n -ésima potencia de algún proceso puntual.
La la medida del momento de un proceso puntual se define de forma equivalente [3] como:
dónde es cualquier función medible no negativa en y la suma se acabo - tuplas de puntos para los que se permite la repetición.
Medida de primer momento
Para algún conjunto Borel B , el primer momento de un proceso puntual N es:
dónde se conoce, entre otros términos, como la medida de intensidad [3] o medida media , [8] y se interpreta como el número esperado o promedio de puntos de encontrado o ubicado en el conjunto .
Medida del segundo momento
La segunda medida de momento para dos conjuntos de Borel y es:
que para un solo juego de Borel se convierte en
dónde denota la varianza de la variable aleatoria.
El término de varianza anterior alude a cómo las medidas de momentos, como los momentos de variables aleatorias, se pueden usar para calcular cantidades como la varianza de procesos puntuales. Otro ejemplo es la covarianza de un proceso puntual para dos juegos Borel y , que viene dado por: [2]
Ejemplo: proceso de punto de Poisson
Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidadla medida del primer momento es: [2]
que para un proceso homogéneo de puntos de Poisson con intensidad constante medio:
dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de.
Para el caso de Poisson con medida la segunda medida de momento definida en el conjunto de productos es: [5]
que en el caso homogéneo se reduce a
Ver también
- Momento factorial
- Medida de momento factorial
- Momento
Referencias
- ^ a b c D. J. Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008.
- ^ a b c d e f F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen I - Teoría , volumen 3, No 3-4 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores NoW, 2009.
- ^ a b c d e f g h i j k D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
- ^ a b D. J. Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de procesos puntuales. Vol. Yo . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
- ↑ a b c A. Baddeley, I. Bárány y R. Schneider. Procesos de puntos espaciales y sus aplicaciones. Geometría estocástica: conferencias impartidas en la Escuela de Verano CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004 , páginas 1-75, 2007.
- ^ a b c J. Moller y RP Waagepetersen. Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales . Prensa CRC, 2003.
- ↑ a b F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen II - Aplicaciones , volumen 4, No 1-2 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores NoW, 2009.
- ^ JFC Kingman. Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.